8.1.2. Вимірювання маси за допомогою важільних ваг

Сутність вимірювання маси за допомогою важільних ваг полягає в порівнянні вимірюваної маси m_x з еталонною масою гирі m_е. Важільні ваги виконують роль компаратора, тобто пристрою порівняння. Під час операції вимірювання за положенням стрілки індикатора на шкалі оператор оцінює, яка з мас більше або менше. Схематичне зображення важільних ваг наведено на рис. 8.6.

Коромисло повертається навколо точки дотику призми з поверхнею опорної подушки.

Рис. 8.6. Схема коромислових рівноплечих ваг:

1 – коромисло; 2 – призма на опорній подушці; 3 – шкала; 4 – стрілка індикатора; 5 – призми для чаш; 6 – чаші.

Умова рівноваги важільних ваг полягає в зрівнюванні до нуля суми всіх діючих на обертове коромисло моментів:

, (8.1)

де M_i = F_i·l_i, F_i – сила, l_i – відстань від місця прикладення сили до точки обертання (точка дотику призми й опорної подушки).

Моменти створюються мінімум трьома силами: силою ваги гир F_е, силою ваги об’єкта F_x, масу якого вимірюють, та власною силою ваги коромисла.

Будемо вважати, що моменти, створювані силою ваги коромисла, збалансовані завдяки симетричній конструкції. Даний допуск являє собою помилку моделі, якою в даній роботі можна зневажати.

F_x·l₁sin(90^o + β) – F_е·l₂sin(90^o – β) = 0, (8.2)

де l₁ і l₂ – довжини плечей коромисла;

90° – кут прикладення сили до важеля в нульовому положенні;

β – кут відхилення стрілки індикатора, жорстко зв’язаного з коромислом (повороту важеля).

З наведеного виразу видно, що рівновага може бути досягнута при будь-якому куті β, однак це створює незручність під час вимірювання. Із практики відомо, що під рівновагою при зважуванні розуміють стале горизонтальне положення коромисла.

Для одержання рівноваги при β = 0 штучно створюють деякий протидіючий момент, який діє в напрямку зменшення кута до нуля.

Конструктивно це реалізується застосуванням призми й опорної подушки, схематичне зображення яких наведено на рис. 8.7.

Реальне вістря призми не ідеальне, тобто має деякий радіус заокруглення. Отже, при повороті призма перекочується з однієї точки опори на іншу на деяку відстань а, як це показано на рис. 8.8. Передбачається, що тертя не дозволяє призмі ковзатися по поверхні.

Очевидно, що довжина плеча важеля (відстань між точками прикладення сил) зміниться на значення зсуву а. Одне плече зменшиться, інше – збільшиться, тобото їхні довжини дорівнюватимуть відповідно

l₁ – а й l ₂ + а .

Аналогічні зміни відбуваються і з призмами для чаш. Приймаючи зсуви однаковими, введемо загальне позначення b для зсуву призм чаш.

а)
б)

Рис. 8.7. Призма на опорній подушці:

а) при горизонтальному положенні коромисла; б) при повороті.

Рис. 8.8. Поворот призми.

Тоді

F_x·(l₁ – a – b)sin(90^o+ β ) – F_е·(l₂ + a + b)sin(90^o– β) = 0. (8.3)

Як відомо, сила й маса пов’язані між собою прямою залежністю

F = mg,

де g – прискорення вільного падіння, індивідуальне для кожної точки поверхні Землі, але однакове для гирі й вимірюваного об’єкта при зважуванні.

Враховуючи вищезазначене, рівняння для обчислення вимірюваної маси набуває вигляду:

. (8.4)

Можна приблизно прийняти для малих кутів, що зсув а та зсув b пропорційні куту β. Будемо вважати, що зрівноважування здійснене таким чином, що

β = 0, і а = b = 0.

Номінально l₁ = l₂, отже т_х = т_е. Якщо зрівноважування закінчується при β ≠ 0, те це означає, що немає точної рівності т_х і т_е. Вони відрізняються на деяке значення, про яке можна судити за значенням β. Шкала градуйована в одиницях маси пропорційно значенню кута відхилення β. Тому вимірювана маса

т_х = т_е + q∙β, (8.5)

де q – ціна поділки шкали.

Похибка вимірювання маси складається з:

а) похибки порівняння за допомогою важільних ваг;

б) похибки мас гир;

в) похибки оператора;

г) похибки обчислень.

Похибка важільних ваг обумовлена похибкою відношення довжин плечей l₁/l₂. Ця складова похибки за абсолютним значенням не залежить від вимірюваної маси. Реальне відношення l₁/l₂ може відрізнятися від номінального (наприклад, воно повинне дорівнювати 1, а реально становить 0,99). Однак ця похибка легко виявляється: при m_x = 0 або

m_е = 0 стрілка не буде збігатися з нульовою поділкою. Часто ваги мають гвинти-регулятори, а якщо їх нема, то на одну з чаш додають яку-небудь масу й у такий спосіб урівноважують.

При малих вимірюваних масах або малій різниці m_x – m_е обертальний момент не може перевищити силу, викликану „врізанням”. Призма врізається в опорну подушку тим більше, чим більше вимірювана маса. А чим більше „врізання” опорної призми, тим складніше повернути коромисло. Звідси виникає складова від „врізання”, що залежить від m_x, тобто поріг чутливості є функцією вимірюваної маси.

Значення похибок важільних ваг наводять у паспортах до важільних ваг.

Похибка мас гир залежить від того, наскільки точно гиря відтворює значення маси. Завод-виробник гир, наприклад, гарантує, що при номінальному значенні маси гирі 10 г дійсне значення знаходиться в межах 9,88...10,12 г. У документації на гирі наводяться межі допустимої абсолютної похибки Δ = ± 0,012 г.

Похибка оператора зумовлюється помилкою у формуванні ним результату вимірювання. Як правило, це помилка при встановленні початкової рівноваги ваг або помилка зчитування показів за шкалою.

Похибки обчислень виникають, наприклад, від округлення й застосованих наближених методів обчислень.

Є й інші складові похибки, наприклад, від впливу густини повітря, від якої залежить аеродинамічна піднімальна сила. Похибка може виникнути й тому, що густина матеріалу вантажу, який зважується, і матеріалу гир різна. Однак це враховується лише при дуже точних вимірюваннях.

Методи зважування. Під час простого зважування на одну чашу ваг поміщають предмет для зважування масою т_х, а на іншу – гирі. Для рівноплечих ваг прийнято l₁ = l₂, отже, маса вимірюваного тіла дорівнює масі гир, що врівноважують:

т_х = т_е ,

де т_е – маса еталона, тобто гир, що врівноважують.

Виключити або значно зменшити похибку відношення l₁/l₂ можна, застосувавши метод заміщення. Цей метод називають зважуванням за способом Бордо.

Спочатку здійснюють зрівноважування вимірюваної маси тіла т_х не гирями, а допоміжним сипким матеріалом, наприклад, піском.

Після зрівноважування (β = 0)

т_х ∙l ₁ = т_П ∙l ₂, (8.6)

де т_П – невідома маса піску.

Потім на ту чашу, де знаходився предмет, маса якого вимірюється, кладуть гирі, підбором яких досягають зрівноважування т_е∙ l₁ = т_П ∙l₂.

Таким чином здійснюють зрівноважування піску на іншій чаші ваг.

Розв’язуючи отриману систему з двох рівнянь відносно т_х, одержимо:

т_х∙ l₁ = т_е∙l ₁. (8.7)

Отже, т_х = т_е .

Таким чином, відношення l₁/l₂ не ввійшло у формулу результату вимірювання, що підтверджує незалежність результату вимірювання від похибки відношення.

Іншим способом зменшення похибки від нерівності плечей l ₁ і l ₂ є метод протиставлення, або метод подвійного зважування. Цей метод називають зважуванням за методом Гаусса.

Об’єкт, масу якого вимірюють, поміщають на одну чашу ваг і врівноважують гирями масою т_е1:

m_х∙l ₁ = m_е1∙l ₂, (8.8)

де т_е1 – маса гир при першому зрівноважуванні.

Потім чаші міняють, тобто об’єкт поміщають на іншу чашу ваг, і знову врівноважують гирями масою т_е2 :

m_х∙l₂ = m_е2∙l ₁, (8.9)

де m_е2 – маса гир при другому зрівноважуванні.

Розв’язуючи систему з двох рівнянь відносно т _х , одержимо:

. (8.10)

Питання для самоперевірки

1. Порядок роботи на аналітичних вагах.

2. Як створюється момент, що повертає коромисло в горизонтальне положення при рівності порівнюваних мас?

3. Чи буде відрізнятися й наскільки результат зважування однієї й тієї самої маси за допомогою важільних ваг у Пензі й у Токіо?

4. Чому при рівності мас після закінчення переміщення важеля й повернення в горизонтальне положення важільних ваг стрілка не доходить до нульової поділки, причому з різних сторін залежно від того, в якому напрямку відбувалося переміщення важеля?