Задачи для самостоятельной работы

32. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку .

33. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

34. Вычислить угол между плоскостями , .

35. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной к плоскостям и .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей равные отрезки на осях координат.

37.^* Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и и перпендикулярной к плоскости .

38. Найти расстояние от точки до плоскости .

39.^* Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку , одна из которых содержит ось , а другая – ось .

40.^* Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .

41.^* Из точки на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

42. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через начало координат и точку .

43. Уравнение прямой привести к каноническому виду.

44. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей ось под прямым углом.

45. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной к плоскости .

46. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на ось .

47.^* Найти проекцию точки на плоскость .

48.^* Найти проекцию точки на прямую .

49.^* Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

50.^* Найти уравнение проекции прямой на плоскость .

51.^* Найти кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

и .

2.3. Канонические уравнения кривых 2-го порядка (эллипс, гипербола, парабола)

Кривые второго порядка определяются уравнением второй степени относительно текущих координат:

, (*)

коэффициенты которого – действительные числа, причем А²+В²+С²≠0, то есть А, В, С одновременно не равны нулю.

Определение 2.3.1.

Окружностью радиуса R с центром в точке О(х₀; у₀) называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию ОМ=R.

– каноническое уравнение окружности.

Уравнение (*) определяет окружность, если В=0, А=С≠0,

.

При этом возможны вырождения в точку или мнимую окружность.

Определение 2.3.2.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса

2а и 2b называются большой и малой осями эллипса.

Расстояние между фокусами равно 2с, a² – b²=c² (a>b).

Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами к длине большой оси:

ε=2с/2а=с/а < 1 (а>b) – мера сжатия эллипса.

Прямые х=± а / ε называются директрисами эллипса.

Уравнение (*) определяет эллипс, если В=0, А*С>0. При этом возможны вырождения в точку или мнимый эллипс.

Определение 2.3.3.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы

2а и 2b называются действительной и мнимой осями гиперболы.

Расстояние между фокусами равно 2с, a² + b²=c² .

Эксцентриситет гиперболы – отношение расстояния между фокусами к длине действительной

оси: ε=2с/2а=с/а > 1 (а>b).

Прямые х=± а / ε называются директрисами гиперболы.

Гиперболы и называются сопряженными.

Уравнение (*) гиперболу , если В=0, А*С<0. При этом возможно вырождение в пару пересекающихся прямых.

Определение 2.3.4.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы

Фокус имеет координаты F(p/2 ; 0).

Директриса задается уравнением x= – p/2.

Уравнение (*) определяет параболу, если В=0, А*С=0. При этом возможно вырождение в пару параллельных прямых.

Если в уравнении (*) член с произведением координат В отличен от нуля, то можно, путем поворота координатных осей на угол α, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал:

Выберем угол α так, чтобы коэффициент при x’*y’ обратился в нуль, то есть чтобы выполнялось равенство

Пример 2.7.

Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

.

Решение.

Указанное уравнение определяет параболу (С=0). Действительно,

Получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке О₁(-5 ; -7) и р=1.