- •Аналитическая геометрия. Содержание:
- •Векторная алгебра
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.2. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды задания уравнений плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Взаимное расположение плоскостей Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.3. Канонические уравнения кривых 2-го порядка (эллипс, гипербола, парабола)
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.4. Взаимное расположение кривых и прямых на плоскости Задачи для самостоятельной работы
- •2.5. Поверхности второго порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Задачи для контрольных заданий
- •1. Задание по теме «Векторы. Линейные операции над векторами»
- •2. Задание по теме «Прямая на плоскости»
- •3. Задание по теме «Кривые второго порядка» Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 3.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15.
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 26.
- •Вариант 27.
- •Вариант 28.
- •Вариант 29.
- •Вариант 30.
- •4. Задание по теме «Прямая и плоскость в пространстве»
- •5. Задание по теме «Поверхности второго порядка»
- •Литература Основная
- •Дополнительная
Задачи для самостоятельной работы
1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы: 1) ; 2) ; 3) ?
2. Векторы и образуют угол , причем , . Определить и .
3. По данным векторам и построить векторы , , .
4. В треугольнике даны векторы и . Найти векторы и , где М – середина стороны АВ.
5. Найти орт вектора и его направляющие косинусы.
6. Доказать, что точки , и лежат на одной прямой, причем точка В расположена между А и С.
7. Определить, при каких значениях α и β векторы и коллинеарны.
8. Доказать, что четырехугольник с вершинами , , , есть параллелограмм. Найти длины его сторон.
9. Даны точки , , и . Проверить, что векторы и коллинеарны. Какой из них длиннее другого, во сколько раз и как они направлены?
10. Дан вектор . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору , противоположного с ним по направлению, при условии, что .
11. Заданы векторы и . Проверить, образуют ли они базис, и, если образуют, найти разложение вектора по базису .
12. Даны два вектора и . Найти скалярное произведение этих векторов и косинус угла между ними.
13. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , , найти:
1) ; 2) .
14. Дано, что , . При каком значении α векторы и будут перпендикулярны, если ?
15. Найти векторное произведение векторов и и его модуль.
16. Найти площадь треугольника с вершинами , , .
17. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты АМ.
18. Даны координаты вершин пирамиды , , и . Найти смешанное произведение векторов , и и определить объём пирамиды, построенной на этих векторах.
19. Установить, компланарны ли векторы , , если:
1) , , ;
2) , , .
20. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.
21. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .
Аналитическая геометрия
2.1. Прямая на плоскости
Определение 2.1.
Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y Ф(х,у) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.
Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии: , где функции непрерывны по параметру t.
1) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
.
2) Частные случаи
Значение коэффициента |
Вид уравнения |
Положение прямой |
С=0 |
Ax+By=0 y=kx |
Проходит через начало координат |
A=0 |
By+C=0 y=b |
Параллельна оси Ox |
B=0 |
Ax+C=0 x=a |
Параллельна оси Oy |
A=C=0 |
y=0 |
Совпадает с осью Ox |
B=C=0 |
x=0 |
Совпадает с осью Oy |
3) Векторное уравнение
Пусть М0(х0,у0) – заданная точка прямой, - ненулевой вектор, перпендикулярный прямой (он называется нормальным вектором прямой). Тогда векторное уравнение прямой имеет вид , где М(х,у) – произвольная точка на прямой и вектор - вектор, перпендикулярный вектору нормали. Если переписать уравнение в координатной форме, то получим
4) Уравнение прямой в «отрезках»
Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где a и b – соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ox и Oy.
5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где - угловой коэффициент, b – начальная ордината.
6) Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через две точки А(х1,у1) и В(х2,у2). Тогда ее уравнение
,
где - направляющий вектор данной прямой.
7) Канонические уравнения прямой
Пусть М(х0,у0) – заданная точка прямой, а - направляющий вектор прямой. Тогда канонические уравнения прямой на плоскости имеют вид
.
8) Параметрические уравнения прямой
Рассмотрим канонические уравнения прямой и введем параметр t
. Тогда получим систему, которая дает параметрические уравнения прямой на плоскости
9) Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении
Уравнение прямой, проходящей через точку А(х1,у1) под углом φ к положительному направлению оси Ох , имеет вид , где k=tgφ – угловой коэффициент прямой.
10) Угол между двумя прямыми
Если прямые заданы общими уравнениями , то .
Угол φ между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется из соотношения
.
Угол φ между прямыми, заданными каноническими уравнениями определяется из соотношения .
Данные формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.
11) Условие параллельности прямых
Если прямые заданы общими уравнениями , то они параллельны в случае .
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами , то они параллельны в случае k1= k2 .
Если прямые заданы каноническими уравнениями , то они параллельны в случае .
12) Условие перпендикулярности прямых
Если прямые заданы общими уравнениями , то они перпендикулярны в случае .
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами , то они перпендикулярны в случае k1= - 1/k2 .
Если прямые заданы каноническими уравнениями , то они перпендикулярны в случае .
13) деление отрезка в заданном соотношении
Если точка (х,у) делит отрезок, ограниченный точками А(х1,у1) и В(х2,у2) в отношении λ , то ее координаты определяются
.
Координаты точки С , делящей отрезок АВ пополам
.
14) Расстояние между точками
Расстояние dAB между точками А(х1,у1) и В(х2,у2):
.
15) Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от заданной точки М0(х0,у0) до заданной прямой с уравнением Ах+Ву+С=0 определяется по формуле
.
Пример.2.1.
На координатной плоскости хОу даны три точки А(0;-4), В(3;0), С(0;6). Найти: 1) длины и уравнения сторон АВ и АС в ΔАВС; 2) уравнение медианы, опущенной из точки А на сторону ВС; 3) длину биссектрисы угла ВАС; 4) длину высоты, опущенной из точки В на сторону АС; 5) площадь ΔАВС.
Решение.
1)
Прямая АС совпадает с осью ординат, следовательно, описывается уравнением х=0.
Найдем уравнение прямой АВ:
2) Координаты мочки М – середины отрезка ВС:
Тогда уравнение медианы АМ примет вид
3) АN – биссектриса угла ВАС, следовательно,
Тогда координаты точки N:
4) Высота рассматриваемого треугольника, опущенная из вершины В, может быть найдена как расстояние от точки В до прямой АС, но как очевидно, в данном случае она совпадает с отрезком ОВ, длина которого равна 3.
5) .
Пример 2.2.
Даны на координатной плоскости xOy вершины A(-1; 1), B(5; 4), C(2; 5) треугольника.
Найти:
1) длину и уравнение каждой из трёх сторон ΔABC;
2) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ;
3) уравнение медианы, проведённой через вершину С;
4) точку пересечения высот треугольника;
5) длину высоты, опущенной из вершины С;
6) площадь ΔABC;
7) систему неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертёж.
1 ) найти длину и уравнение сторон
длины сторон
,
уравнения сторон через две точки:
AB:
3x + 3 = 6y - 6; x - 2y + 3 = 0 общее уравнение AB
-x + 2 = 3y-15; x + 3y - 17 = 0 общее уравнение BC
-4x + 8 = -3y + 15; 4x - 3y + 7 = 0 общее уравнение AC
2) уравнение высоты с D:
так как CD перпендикулярно AB, то
уравнение CD составим через уравнение пучка прямых через C:
y - 5 = -2 (x - 2)
y - 5 = -2x + 4
2x + y - 9 = 0 общее уравнение CD
3) уравнение медианы CE
уравнение CE через две точки C и E:
;
2,5 (x - 2) = 2 (y - 5);
5x - 10 = 4y - 20;
5x - 4y + 10 = 0 общее уравнение CE.
4) точка пересечения высот.
найдём высоту из вершины B:
уравнение
3x + 4y - 31 = 0 - уравнение
т.п. :
т.к : Решение методом Крамера:
5) Длина высоты CD:
найти точку D:
;
6) Площадь треугольника ABC:
.
7) Система неравенств, определяющих треугольник АВС: