- •Аналитическая геометрия. Содержание:
- •Векторная алгебра
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.2. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды задания уравнений плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Взаимное расположение плоскостей Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.3. Канонические уравнения кривых 2-го порядка (эллипс, гипербола, парабола)
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.4. Взаимное расположение кривых и прямых на плоскости Задачи для самостоятельной работы
- •2.5. Поверхности второго порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Задачи для контрольных заданий
- •1. Задание по теме «Векторы. Линейные операции над векторами»
- •2. Задание по теме «Прямая на плоскости»
- •3. Задание по теме «Кривые второго порядка» Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 3.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15.
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 26.
- •Вариант 27.
- •Вариант 28.
- •Вариант 29.
- •Вариант 30.
- •4. Задание по теме «Прямая и плоскость в пространстве»
- •5. Задание по теме «Поверхности второго порядка»
- •Литература Основная
- •Дополнительная
Задачи для самостоятельной работы
22. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(4;6) и отсекающей от осей координат треугольник площадью, равной 6 кв. ед.
23. Показать, что прямые и перпендикулярны.
24. Определить острый угол между прямыми , .
25. Определить расстояние между параллельными прямыми и .
26. Найти длину высоты в треугольнике с вершинами , и .
27.* Даны стороны треугольника : , : , : . Найти длину высоты, проведённой из вершины .
28.* Даны вершины треугольника: , , и . Составить уравнение биссектрисы угла .
29.* Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треугольника, проходящей через точку , если катеты треугольника расположены на осях координат, а площадь треугольника равна 12 ед2.
30.* Дана вершина треугольника и уравнения медиан: и . Найти координаты двух других вершин.
31.* Даны две противоположные вершины квадрата и . Найти координаты двух его вершин и написать уравнения его сторон.
2.2. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды задания уравнений плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Взаимное расположение плоскостей Плоскость в пространстве
Определение 2.2.1.
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.
1) Общее уравнение плоскости P имеет вид
(2.2)
В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Определение 2.2.2.
Вектор , ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.
2) Особые случаи уравнения (2.2):
1. - плоскость проходит через начало координат.
2. - плоскость параллельна оси Oz.
3. - плоскость проходит через ось Oz.
4. - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
3) Уравнение плоскости в «отрезках»
Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где a, b, с – соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения прямой с осями Ox, Oy и Oz.
4) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(x1;y1;z1), M(x2;y2;z2), M(x3;y3;z3), имеет вид
5) Угол между двумя плоскостями
Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и , определяется как угол между данными нормальными векторами; косинус этого угла находится по формуле
6) Условие параллельности плоскостей
Условие параллельности плоскостей и
7) Условие совпадения двух плоскостей
Плоскости P1 и P2 совпадают, если .
8) Условие перпендикулярности плоскостей
Условие перпендикулярности плоскостей P1 и P2
.
9) Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору
10) Расстояние от точки до плоскости
Расстояние d от заданной точки M(x0;y0;z0) до заданной прямой с уравнением определяется по формуле
.
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана:
1) Как пересечение двух плоскостей
Прямую l можно задать как пересечение двух плоскостей
тогда ее направляющий вектор будет равен
2) Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение прямой можно задать двумя точками M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
3) Канонические уравнения прямой
Уравнение прямой можно задать точкой M1(x1,y1,z1), ей принадлежащей, и вектором , ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой, а вектор - направляющий вектор прямой.
4) Параметрические уравнения прямой
Рассмотрим канонические уравнения прямой и введем параметр t
. Тогда получим систему, которая дает параметрические уравнения прямой на плоскости
5) Угол между двумя прямыми
Угол φ между прямыми, заданными каноническими уравнениями и определяется из соотношения .
6) Условие параллельности прямых
Если прямые заданы каноническими уравнениями и , то они параллельны в случае .
7) Условие перпендикулярности прямых
Если прямые заданы каноническими уравнениями и , то они перпендикулярны в случае .
8) Условие компланарности двух прямых
Если прямые заданы каноническими уравнениями и , то они компланарны в случае
Замечание. Прямые компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны.
9) Угол между прямой и плоскостью
Если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость задана общим уравнением , то угол между ними определяется по формуле
10) Условие параллельности прямой и плоскости
Если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость задана общим уравнением , то они параллельны, если выполняется .
11) Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость задана общим уравнением , то они перпендикулярны, если выполняется .
12) Точка пересечения прямой и плоскости
Чтобы определить точку пересечения прямой, заданной каноническими уравнениями и плоскости, заданной общим уравнением , нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой , которые необходимо подставить в уравнение плоскости. Получим уравнение с неизвестным параметром t. Найденный параметр подставим в параметрические уравнения и получим координаты искомой точки.
Возможны варианты:
а) если , то прямая пересекает плоскость;
б) если и , то прямая параллельна плоскости;
в) если и , то прямая лежит в плоскости.
Пример 2.3. Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0.
Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 2.4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
, где m=A/B.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости
1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример 2.5. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
где - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1), принадлежащей данной прямой, мы нашли:
M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей a1(5,1,1) и a2(2,3,-2). Тогда
Канонические уравнения прямой имеют вид: .
Пример 2.6. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v )×1 -3u + v =0, или v = - u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u¹0 (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:
(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, или v = - 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.