2.2.3. Трансформация основной погрешности последовательностью ип

При получении измерительной информации, как правило, выполняется не одно, а несколько измерительных преобразований; можно сказать, что ИП образуют последовательный измерительный канал. Каждый преобразователь в канале обладает собственными аддитивной и мультипликативной погрешностями. При этом возникают, по меньшей мере, два вопроса: во–первых, в какой форме представляется общая погрешность последовательно включенной группы ИП; и, во–вторых, как можно снизить общую погрешность последовательности ИП.

Из техники известны три схемы включения преобразователей: последовательно, параллельно с последующим суммированием выходных сигналов и с обратной связью.

Рассмотрение начнем с последнего случая, когда часть сигнала с выхода преобразователя подается на вход для стабилизации параметров некоторого процесса. Классический пример подобного устройства – регулятор Уатта для стабилизации оборотов вала паровой машины. На вал паровой машины устанавливались подпружиненные эксцентрики, рычаг от которых соединялся с краном подачи пара в машину. При росте оборотов вала эксцентрики расходились, преодолевая силу пружины (или собственный вес эксцентриков) и через рычаг поворачивали кран в положение снижения подачи пара. При спаде оборотов вала (например, при увеличении нагрузки) процесс идет в обратном направлении, сильнее открывая кран подачи пара.

Говоря техническим языком, труба подачи рабочего тела (пара), машина и выходной вал охвачены цепью отрицательной обратной связи, в которую входят эксцентрики, пружина, рычаг и кран. Связь отрицательна по той причине, что часть энергии с выхода устройства (в нашем примере – паровой машины) подается на вход (на кран подачи) с обратным знаком: при росте оборотов сигнал в цепи обратной связи отрицательного знака (на уменьшение подачи пара); при уменьшении оборотов, т.е. при отрицательной производной от числа оборотов – подает сигнал опять с обратным знаком (на увеличение подачи пара).

Дальнейший анализ преобразователей предполагает введение математического выражения, связывающего входной и выходной сигналы цепи, охваченной отрицательной обратной связью. С указанной целью рассмотрим простейшую цепь: усилитель с коэффициентом усиления S (для линейного усилителя коэффициент усиления является его показателем чувствительности, введенным в п. 2.1) и отрицательную обратную связь с коэффициентом усиления β (рис 2.3). Поскольку речь идет о частичной передаче выходного сигнала на вход, то, очевидно, β≤1. Физически цепь обратной связи

электронного усилителя может представлять собой резистивный делитель, для механического

преобразователя – неравноплечный рычаг, для пневматического преобразователя – трубку с большим

Рис. 2.3. Функциональная схема усилителя с обратной связью

гидравлическим сопротивлением и т.д. Важно, чтобы в любом случае сигнал (воздействие) с выхода цепи обратной связи вычитался из входного сигнала X.

Сначала предположим, что линия с выхода цепи обратной связи разорвана. Тогда сигнал на выходе усилителя Y_ПР при входном сигнале х будет равен Y_ПР = Sּ x. Подключим цепь обратной связи; сигнал на выходе изменится и примет неизвестное нам значение Y_ОС. Этот сигнал, пройдя цепь обратной связи станет равен βּY_ОС. Поскольку сигнал обратной связи вычитается из входного х, то на входе усилителя устанавливается значение сигнала х - βּY_ОС. Вот этот сигнал, усиленный в S раз, и создает выходной сигнал Y_ОС. Следовательно, можно записать следующее равенство:

Y_ОС = S(х - β·Y_ОС) = S x - S· β·Y_ОС..

Произведя элементарные преобразования, получим окончательно

. (2.4)

К каким же изменениям в преобразователе привело введение отрицательной обратной связи? Изменилась чувствительность преобразователя, она стала равна S_ОС = S/(1+Sβ), и уменьшилась величина выходного сигнала (Y_ОС<Y поскольку знаменатель в (2.4) больше единицы).

Теперь, имея выражение для преобразователя с обратной связью, можно вернуться к задаче анализа погрешностей в канале преобразования измерительного сигнала.

Р ассмотрим измерительную цепь, состоящую из нескольких преобразователей с известными характеристиками, например измерительную цепь, показанную на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Схема последовательного соединения ИП

Пусть сначала обратная связь отключена. Требуется найти показатели погрешности преобразования Y=f(X) в виде относительной погрешности чувствительности γ_S и погрешности нуля (дрейфа) ΔXо.

Для определения первой (мультипликативной) составляющей погрешности представим анализируемую измерительную цепь как сложный ИП, состоящий из трех последовательных звеньев, с крутизной статической характеристики (чувствительностью)

S=S₁S₂S₃ . (2.5)

Выразим полный дифференциал S:

.

Разделим обе части равенства на S и перейдем к конечным приращениям. Это дает приближенное развернутое выражение искомой относительной погрешности

что означает: _S = _S1+_S2+_S3 . (2.6)

(Вычисление относительной погрешности может выполняться более простым способом, основанном на том, что дифференциал от логарифма равен: d(lnx)=dx/x. Необходимо, следовательно, сначала прологарифмировать исходное выражение, продифференцировать результат и перейти от дифференциала к конечным приращениям. Например, логарифмируем выражение (2.5): lnS = lnS₁ + lnS₂ + lnS₃. Теперь дифференцируем и, переходя к конечным приращениям, сразу получаем:

Для определения второй (аддитивной) составляющей погрешности Xо введем на вход каждого из трех элементарных ИП сигналы ΔX_i, где i=1,2,3 (см. рис. 2.4), эквивалентные приведенным к входам значениям аддитивных погрешностей каждого звена. Затем трансформируем эти сигналы на вход измерительной цепи; их сумма даст

(2.7)

Выражения (2.5) и (2.6) показывают, что γ_S не зависит от порядка расположения элементарных ИП в измерительной цепи. А величина ΔХo, как видно из (2.7), зависит от порядка включения ИП: чем ближе к входу включен элементарный ИП, тем более жесткие требования надо предъявлять к нему по дрейфу нуля и помехоустойчивости. Например, если первый и второй преобразователи являются усилителями с номинальными коэффициентами усиления 10, то погрешность нуля первого преобразователя полностью войдет в результат преобразования, второго – только одна десятая часть, а третьего – вообще одна сотая.

Теперь включим в схеме обратную связь. Как показано выше, крутизна статической характеристики ИП с обратной связью S_{o c} равна

, (2.8)

где β – коэффициент передачи цепи обратной связи.

Прологарифмировав последнее выражение, взяв производную и приведя подобные члены, придем к следующему выражению в конечных приращениях:

; (2.9)

при условии βS » 1 полученное выражение упрощается

где γ_β = Δβ/β; _S – из (2.6).

Из последнего уравнения видно, что погрешность чувствительности обобщенного ИП с обратной связью определяется двумя слагаемыми. Если Sβ » 1, то первое слагаемое становится малым и при достаточно хорошей стабильности звена обратной связи (т.е. малости слагаемого γ_β = Δβ/β) мультипликативная погрешность канала существенно понижается.

Обеспечить стабильность цепи обратной связи часто бывает проще, чем создавать высокостабильный ИП. Например, для измерительного усилителя цепь обратной связи может представлять собой делитель на резисторах, добиться стабильности которого неизмеримо проще, чем усилителя без обратной связи.

Определим второй показатель погрешности в схеме с обратной связью, т.е. найдем выражение эквивалентного сигнала (ΔXo)ос, действующего на входе и вызывающего на выходе измерительной цепи такой же эффект, какой вызывают сигналы погрешности нуля ΔX₁, ΔX₂, ΔX₃.

На выходе измерительной цепи искомый эффект выражается уравнением

.

Разделив обе части последнего выражения на чувствительность замкнутой измерительной цепи, получим:

(2.10)

Правые части (2.7) и (2.10) совпадают. Следовательно, обратная связь нисколько не изменяет величину аддитивной погрешности составного ИП.

Что же следует из проведенного анализа? Во-первых, общая аддитивная погрешность последовательности ИП зависит от порядка подключения отдельных ИП, а мультипликативная – нет. Во-вторых, мультипликативная погрешность может быть уменьшена введением отрицательной обратной связи, аддитивная погрешность – нет.

Главный вывод: при построении измерительного канала необходимо стремиться к тому, чтобы ИП имел тем меньшую аддитивную погрешность, чем он ближе подключен в канале к измеряемой физической величине. Очевидно, что наиболее жесткие требования предъявляются к первому в канале ИП, который называется датчиком.