4.4. Электростатическое поле

Электрическое поле, наряду с гравитационным и магнитным полями, наиболее часто встречающееся силовое поле. Указанные поля действуют как внутри вещества на микроскопическом уровне (между ядрами атомов и электронами, между атомами и молекулами), так и на уровне макроскопическом, определяя все многообразие электромагнитных и гравитационных явлений.

Источником электрического поля являются элементарные заряды электрона и протона. Заряды эти равны между собой (1,60219ּ10^-19 Кл) и противоположны по знаку в том смысле, что электрон от электрона отталкивается (и протон от протона), а электрон к протону притягивается. Условно заряд электрона назван отрицательным, а протона положительным.

Природа электрических зарядов не ясна, но известно, что:

- электрическая сила отталкивания между двумя электронами в 10⁴⁰ больше их гравитационного притяжения. Именно поэтому строение веществ, их химические, механические, тепловые и другие свойства определяются электрическими силами;

- величина заряда частиц остается постоянной при любой скорости их движения. Уникальное свойство, поскольку, согласно теории относительности, тела, в зависимости от относительной скорости движения, меняют геометрические размеры, массу и другие физические параметры.

В 1785 г. Шарль Кулон открыл основной закон взаимодействия электрических зарядов, названный его именем: если имеются две группы точечных зарядов q₁ и q₂, то сила взаимодействия между ними F в вакууме определяется выражением

. (4.13)

где e – единичный вектор направления от заряда q₂ к q₁;

r – расстояние между зарядами;

ε₀ – электрическая постоянная; по сути – это коэффициент, определяемый выбором системы единиц; в системе СИ она равна 8,85·10^-12 Ф/м.

Довольно часто закон (4.13) пишут в скалярной форме, словесно дополняя (или предполагая по умолчанию), что речь идет о выделенном направлении – прямой между зарядами. В этом случае единичный вектор e из выражения (4.13) исчезает. Такая запись неудачна. Это видно, если задать основной вопрос электростатики: как две (или больше) группы разнесенных в пространстве зарядов q₁ и q₂ воздействуют на третий заряд q₃? Найти ответ без векторного представления направлений и сил не удастся.

Сформулированную задачу можно решать непосредственно, используя (4.13), но в этом случае любая замена величины или положения в пространстве заряда q₃ потребует полного повторения всех выкладок.

Поэтому поступают следующим образом: рассматривают воздействие некоторой группы зарядов q₁, помещенной в точку пространства с нулевыми координатами, на единичный заряд q₂, помещенный в точку 1 пространства. Сила взаимодействия зарядов F(1) определится по закону Кулона. Можно сказать по-другому: сила F(1) описывает нечто (названное электрическим полем), существующее в точке 1 и при отсутствии в ней единичного заряда q₂, а при помещении такого заряда – проявляющее себя как сила. Такое представление позволяет описать поле зарядов q₁ без привлечения второго заряда q₂. Для этого выражение (4.13) нужно поделить на q₂. Полученная величина называется напряженностью электрического поля E(1) и она характеризует действие всех зарядов, кроме q₂ в точке пространства, обозначенной цифрой 1. Размерность напряженности – В/м.

Теперь получить значение силы, действующей на любой заряд в точке 1, не представляет трудности – для этого достаточно напряженность поля в точке 1, умножить на величину заряда, например q₃, помещенного в эту точку,

F(1) = E(1)· q₃. (4.14)

Введение понятия напряженности поля имеет глубокий смысл, поскольку позволяет разделить задачи расчета поля и расчета количества зарядов, вносимых в его отдельные точки.

Если заряды распределены в пространстве, то их напряженность E(1) в точке 1 определяется векторным суммированием напряженностей от отдельных групп зарядов:

, (4.15)

где q_j – заряд j – той группы;

r_1j – расстояние от точки 1 до j – той группы зарядов;

e_1j – единичный вектор от точки 1 по направлению зарядов j – той группы.

Теперь предположим, что в поле зарядов напряженностью E перемещается малый заряд q₁ из точки a в точку b. При этом, как известно из механики, совершается работа, равная скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения вдоль траектории движения (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Работа переноса заряда из точки a в точку b по выбранному пути

При перемещении заряда против действия сил поля, совершается работа W, равная минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрированной по этому пути; если заряд переносится из точки a в точку b, то

^,

или при перемещении единичного заряда

^{. (4.16)}

Допустим, перемещение единичного заряда из a в b шло по верхней траектории, а обратно – по нижней. Чему будет равна полная работа? Поскольку прямое перемещение выполнялось против сил поля, то обратное – по направлению сил и работа имеет знак плюс; сумма работ переноса заряда от a до b и обратно равна нулю. Если бы сумма работ по замкнутому контуру не была равна нулю, то выбирая соответствующим образом пути перемещения из точки a в b и обратно, мы получали бы работу без затраты энергии, т.е. вечный двигатель. Равенство нулю интеграла (4.16) по замкнутому контуру означает, что величина работы зависит только от разности потенциальных энергий точек a и b, называемой напряжением U:

^{, (4.17)}

где φ(a) – потенциальная энергия единичного заряда после совершения работы по переносу его из бесконечности (где напряженность поля равна нулю) в точку a;

φ(b) - потенциальная энергия единичного заряда после совершения работы по переносу его из бесконечности в точку b.

Вычисляется потенциал любой точки поля достаточно легко. Например, для вычисления потенциала точки b необходимо в интеграле (4.17) нижний предел заменить бесконечностью, а путь, по которому заряд q переносится из бесконечности считать прямой линией (работа ведь не зависит от траектории переноса заряда). Получим:

.

Потенциал от действия j групп зарядов q_j в контролируемой точке 1 будет равен

, (4.18)

где r_1j - расстояние от точки 1 до j – той группы зарядов.

Последнее выражение позволяет сделать два важных вывода:

- Для расчета работы, выполняемой зарядами в электрических полях достаточно вычислить скалярное поле потенциалов, что существенно легче, чем трехмерные вектора, описывающие напряженность поля.

- Электрические поля обладают свойством суперпозиции, т.е. поле каждой группы зарядов (или их потенциалы) действуют независимо от действия других зарядов (потенциалов), а суммарный эффект есть сумма действия отдельных потенциалов.

На этих свойствах базируются все расчеты линейных электрических цепей. Например, на какой-то элемент (для определенности - катушку с металлическим проводом, называемую индуктивностью) действует переменное и постоянное электрические поля. Суммарное движение зарядов в проводе катушки, называемое током, рассчитывают в два этапа: на первом этапе вычисляют отдельно движение зарядов от постоянного поля, отдельно от переменного, а на втором этапе - суммируют результаты расчетов.

Для перехода от скалярного поля потенциалов к векторному полю напряженностей, достаточно продифференцировать выражение (4.17). В итоге получится: E = - grad φ.

В заключение рассмотрим практически важную систему двух разнесенных равных по величине, но разноименных, точечных зарядов +q и –q, называемую диполем. Примем, что расстояние между зарядами считается от отрицательного к положительному, т.е. расстояние l – вектор, длиной l. Как пример подобной системы можно указать на полярные молекулы, например, молекулу воды Н₂О. В ней атомы водорода расположены не симметрично относительно атома кислорода, а под углом в 105⁰. Поэтому суммарный отрицательный заряд иона кислорода несколько смещен относительно суммарного положительного заряда ионов водорода и образуется диполь.

Рассмотрим потенциал поля, образуемый диполем на большом расстоянии от самих зарядов. «Большое расстояние» означает, что расстояние между зарядами l пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется потенциал системы.

Н а рис.4.3 изображен диполь, у которого начало координат помещено в точку О, удаленную от обоих зарядов на l/2 и точка в пространстве, удаленная на расстояние r от начала координат.

Обозначим расстояние от зарядов –q

-q

и +q до т

-q

-q

очки N соответственно через r_- и r₊ , а угол между вектором l и единичным вектором e_r направления на точку N, через α. Поскольку l/₂ « r, можно записать ^(4.19)

В выражениях учтено, что l умноженное на cosα является проекцией вектора l на направление единичного вектора e_r, т.е. скалярным произведением указанных векторов.

Потенциал в точке N, согласно (4.18) равен

.

Произведение в знаменателе r₊ r_- можно приближенно заменить r², а разность длин в числителе, с учетом (4.19), равна l·e_r. Следовательно

(4.20)

где p = q·l – вектор, называемый электрическим моментом диполя и совпадающий по направлению с вектором l.

С учетом того, что модуль вектора e_r единичной длины, (4.20) можно записать в скалярной форме

. (4.21)

Конец радиуса – вектора r описывает в пространстве шаровую поверхность. Потенциал диполя в разных точках этой поверхности будет различен и, как видно из (4.21), определяется углом α. В частности, при α = 0, т.е. в направлении вектора l, потенциал равен

^,

а в направлении, перпендикулярном вектору l, когда α = π/2, .

Полученный результат показывает, что потенциал на оси диполя меньше, чем для одиночного заряда одного знака, поскольку в знаменателе (4.21) стоит квадрат расстояния. А факт нуля потенциала на плоскости, перпендикулярной вектору l, соединяющему заряды, естественен – потенциалы равные по величине, но противоположные по знаку взаимно компенсируются. Последнее, однако, не означает, что и напряженность поля E(α) при α = π/2 равна нулю. Вычислив grad φ(N) и задавшись α = π/2, получим величину так называемой поперечной компоненты напряженности поля, направленной параллельно вектору электрического момента:

^{. (4.22)}

Если диполь с электрическим моментом p поместить во внешнее электрическое поле напряженностью E_В, то на заряды будут действовать силы, равные, согласно закону Кулона, по модулю qE_В, но противоположно направленные по направлению вектора напряженности E_В. Как известно из теоретической механики, пара противоположно направленных сил образует механический момент М, равный произведению силы на длину плеча, перпендикулярного действующим силам.

Модуль механического момента сил равен в нашем случае М = р·Е_В·sinα, где α – угол между векторами электрического момента p и напряженности E_В. Момент М стремится повернуть диполь вдоль вектора напряженности E_В так, чтобы к зарядам, создавшим поле, ближе находился заряд диполя противоположного знака. Поскольку произведение модулей двух векторов на синус угла между ними есть модуль векторного произведения векторов, можно выражение момента записать в векторной форме:

. (4.23)

4.5. Поле движущихся электрических зарядов

4.5.1. Поле зарядов, движущихся линейно с постоянной скоростью

Рассмотрим систему большого количества электрически заряженных частиц положительной и отрицательной полярности, причем одни из них могут свободно перемещаться. Например, отрезок металлической проволоки, в которой электроны проводимости свободно перемещаются между положительными ионами, образующими кристаллическую решетку. Под действием тепловой энергии электроны совершают хаотические движения внутри металла. Может ли реализоваться ситуация, когда в какой – то части проволоки окажется электронов больше, чем в другой? Ответ будет отрицательным, поскольку электростатические силы настолько велики, что в область избытка положительного заряда немедленно (а точнее, со скоростью света в вакууме) будут притянуты электроны, компенсирующие положительный заряд. Следовательно, в проволоке никаких диполей образоваться не может, и электрическое поле вне проволоки равно нулю.

Если к концам проволоки приложить электрическое поле, то электроны начнут, в дополнение к тепловому движению, перемещаться по направлению, заданному напряженностью поля. У каждого электрона составляющая скорости вдоль проволоки своя, но поскольку их очень много, то можно говорить о некоторой средней скорости v.

Поместив вне проволоки неподвижный электрический заряд, можно убедиться, что внешнее электрическое поле, действующее на заряд, отсутствует. Следовательно, в проволоке сохранилась равная плотность положительных и отрицательных зарядов.

Если же внешний заряд движется с постоянной скоростью параллельно проволоке (или если расположить параллельно вторую проволоку с движущимися зарядами), то возникает силовое взаимодействие систем зарядов: при движении в одном направлении они притягиваются, а в противоположных – отталкиваются. Этот эффект внешне проявляется как притяжение или отталкивание (в зависимости от направления токов) параллельно расположенных проволок.

По аналогии с электрическим полем, считают, что движущиеся заряды образуют в пространстве силовое поле, названное магнитным. В чем его отличие от электрического?

Во–первых, не существует магнитных частиц, которые создают соответствующее поле. Поэтому напряженность поля должна иметь замкнутую форму вокруг порождающих его движущихся электрических зарядов; опыты подтверждают это предположение.

Во–вторых, магнитное поле воздействует только на движущиеся электрические заряды.

Экспериментально установлено, что вектор напряженности магнитного поля, названный магнитной индукцией В направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора скорости электрических зарядов v и радиус – вектор r к точке, в которой наблюдается поле. На рис. 4.3 показано направление векторов; коэффициент k =μ₀/4πr³. Величина вектора индукции В, созданного зарядами q, движущимися линейно со скоростью v, равна

, (4.24)

где В - вектор магнитной индукции, величина которого имеет размерность тесла (Т);

μ₀ = 4π·10^-7 Г/м - магнитная постоянная;

e_r – единичный вектор по направлению вектора r.

С какой же силой действует магнитное поле на движущийся заряд q? Опыт показывает, что сила F пропорциональна величине заряда и его скорости; в векторной форме эта зависимость имеет вид:

^{, (4.25)}

где k – константа, зависящая от выбора системы единиц.

Если заряды движутся в проводе, намотанном в виде катушки, называемой соленоидом, то вектор магнитной индукции В внутри ее будет направлен по оси соленоида. С какой силой будет воздействовать магнитное поле на электрический заряд, движущийся вдоль той же оси? Поскольку в данном случае угол между направлением скорости v и направлением вектора индукции В равен нулю, то и их векторное произведение равно нулю и, следовательно, магнитное поле соленоида не действует на заряд.

Если же заряды движутся перпендикулярно вектору магнитного поля, то сила воздействия поля максимальна и, согласно (4.25), будет направлена перпендикулярно плоскости, в которых лежат вектора скорости v и индукции В.