5.3. Воздействие внешнего электрического поля на металл

Предположим, имеется устройство, которое затратой своей энергии разделяет электрические заряды (например, гальванический элемент). На клеммах устройства имеются потенциалы φ₁ и φ₂. Нас интересуют потенциалы (а не напряженность поля), поскольку их разность φ₁ - φ₂ определяет ту работу, которую могут совершить заряды в данном поле (см. уравнение (4.17)). Разность потенциалов, как указывалось выше, называется напряжением U: U = φ₁ - φ₂, единица измерения – вольт (В). Если клеммы соединить между собой металлической проволокой, то под действием разности потенциалов электроны проводимости станут перемещаться от одной клеммы к другой. Поскольку устройство продолжает затрачивать энергию (в нашем примере – химическую) на разделение зарядов и поддержание разности потенциалов, в проводнике установится стационарный поток электронов, называемый электрическим током. Величина тока I определяется как отношение числа зарядов (электронов) Δq, переместившееся через поперечное сечение проводника за время наблюдения Δt:

I = Δq/ Δt; (5.3)

размерность - ампер (А).

В более общей записи, с учетом возможного изменения числа зарядов, проходящих через поперечное сечение проводника в единицу времени, ток определяется из выражения

I = dq/dt. (5.4)

Ток I, протекающий через единицу поперечной площади проводника называется плотностью тока j:

j = I/S, (5.5)

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Исходя из представлений о свободных электронах в металлах, Пауль Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежут­ках между соударениями они движутся совершенно свободно, про­бегая в среднем некоторый путь λ. Пробег электронов, в отличие от газов, где соударяются молекулы, ограничивается соударениями с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. В процессе столкновений устанавливается тепловое равновесие между электронным газом и кристаллической решеткой.

Согласно кинетической теории газов, каждая частица движется хаотически, меняя свою скорость и направление движения после каждого соударения. Поэтому средняя скорость электронов равна нулю. Но энергия частиц определяется квадратом скорости, которая не может быть отрицательной. Под средней скоростью частиц понимают именно корень квадратный из усредненных квадратов скоростей. Обозначается эта средняя скорость обычно так и равна

^{, (5.6)}

где k = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура;

m = 9,1·10^-31 кг – масса электрона.

При комнатной температуре (~300 К) средняя скорость электронов проводимости по формуле (5.6) имеет значение:

^м/с.

При включении внешнего электрического поля на хаотическое тепловое движение электронов, происходящее со средней скоростью , накладывается упорядоченное их движение с некоторой средней скоростью , величина которой может быть оценена, исходя из формулы плотности тока

, (5.7)

где е = 1,6·10^-19 Кл – заряд электрона.

Предельно допустимая техническими нормами плот­ность тока для медных проводов составляет около 10⁷ А/м² (10 А/мм²). Подставив в последнее выражение значение плотности тока и указанную в п. 5.2 плотность электронов n = 10²⁹ м^-3, получим среднюю скорость электронов под действием поля ≈ 10^-3 м/с. Видно, что вклад направленного движения электронов существенно (в10⁸ раз) меньше средней скорости теплового движения.

Вызываемое полем изменение среднего значения кинети­ческой энергии электронов определяется из следующих соображений.

Средний квадрат результирующей скорости равен

Сомножитель при коэффициенте 2 равен нулю, поскольку средняя скорость теплового движения v равна нулю, о чем говорилось выше.

Увеличение кине­тической энергии электронов в среднем за счет действия внешнего поля составляет

^{. (5.8)}

Для оценки приращения энергии необходимо оценить величину средней скорости ‹u›. Предположим, что поле Е, ускоряющее электроны, однородно. Тогда под его действием электрон будет ускоряться силой еЕ/m, пока, пролетев в среднем расстояние λ, он не ударится об ион и не передаст ему свою энергию. Если считать, что после предыдущего соударения электрон начинает движение с нулевой скоростью, то максимальное значение скорости упорядоченного движения составит в среднем

^,

где τ = λ/‹v›— среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки; в выражении учтено, что |v + u| практически равно |v|.

Заменив в последнем выражении τ его значением, и учтя, что средняя скорость равна половине максимальной (поскольку минимальная равна нулю), получим окончательно

^{. (5.9)}

Подстановка этого выражения в формулу (5.7)дает значение плотности тока

^{. (5.10)}

Полученное выражение есть одна из формулировок закона Ома для участка цепи: плотность тока j пропорциональна напряженности поля E. Придадим, однако, последней формуле другой вид. Для этого домножим и разделим его на длину провода l и площадь поперечного сечения S:

.

Справа, согласно (5.5) стоит выражение тока I, а слева произведение leE, определяющее величину работы по переносу зарядов в электрическом поле. С учетом того, что работа равна разности потенциалов (напряжению) U, уравнение приобретает вид:

^{. (5.11)}

Коэффициент при U, показывающий какое сопротивление оказывает кристаллическая решетка упорядоченному движению электронов, называется электрической проводимостью; чаще на практике используется обратная ей величина, называемая омическим (резистивным) сопротивлением R

^{. (5.12)}

Закон Ома получает традиционный вид I = U/R.

Величина

^{, (5.13)}

определяющая сопротивление проводника единичной длины и единичной площади называется удельным сопротивлением.

Рассмотрим (5.12) с точки зрения возможности реализации измерительных преобразователей.

Допустим, имеется проволока длиной l, площадью поперечного сечения S и сопротивлением R. Приложим к концам проволоки растягивающую силу F. Проволока деформируется, по закону Гука ее длина увеличится на Δl = l·ε, где ε – из (5.1), а площадь S уменьшится (с учетом коэффициента Пуассона) на Δ S ~ S·0,1·ε². Общее сопротивление проводника изменится и станет равным

^.

Следовательно, если к проволоке приложить силу в пределах упругой деформации, получится преобразователь силы в омическое сопротивление на основе тензоэффекта. Учитывая малые величины относительных приращений линейных размеров при упругой деформации, сразу можно отметить, что тензоэффект весьма незначительно изменяет первоначальную величину сопротивления. Это, конечно, серьезный недостаток. Есть два пути его преодоления – поискать другой физический эффект или использовать измерительные усилители, рассмотренные в главе 3.

Теперь проанализируем выражение (5.13) под тем же углом зрения, т.е. возможности использовать свойства металлического проводника в постоянном электрическом поле для создания ИП. Здесь просматриваются две возможности.

Первая связана с зависимостью средней скорости электронов ‹v› от температуры проволоки (см. выражение (5.6)). С ростом температуры увеличивается амплитуда колебаний ионов в узлах кристаллической решетки, что приводит к уменьшению длины свободного пробега λ электронов проводимости. Внешне это проявляется как зависимость удельного сопротивления от температуры (терморезистивный эффект). В широком диапазоне температур зависимость ρ = ρ(Т) нелинейная, но можно подобрать металлы, для которых в диапазоне температур от 200 до 800 К указанная зависимость близка к линейной и имеет вид:

ρ = ρ₀ [1 + α(T – T₀)], (5.14)

где ρ₀ – удельное сопротивление проволоки при некоторой начальной температуре Т₀;

α – температурный коэффициент сопротивления; числовое значение близко к 0,004 Ом/К.

Вторая возможность связана с наличием в выражении (5.13) концентрации свободных электронов n. При постоянной температуре средние скорости электронов проводимости у разных металлов примерно одинаковы, но концентрации электронов различны. Если создать контакт двух проводников из разных металлов (например, сварив их концы), то электронный газ из металла с более высокой концентрацией электронов будет переходить в металл с меньшей их концентрацией. На концах проводников возникнет разность потенциалов тем большая, чем выше разность температур между местами контактов. Это явление называется эффектом Зеебека, по фамилии физика, открывшего его в 1821г.

Описанные выше эффекты не исчерпывают всех исследованных в физике проявлений взаимодействия электрического поля с металлами (их более 20), но перечисленные выше используются чаще других при разработке ИП.

Наличие некоторой однозначной зависимости омического сопротивления или напряжения от воздействия другой физической величины (температуры, силы) является только предпосылкой, а не гарантией разработки соответствующего ИП. Связано это с тем, что вместо весьма сложных взаимовлияющих физических процессов в металлах и сплавах, рассматривались их предельно упрощенные модели. Поэтому необходимо, хоть и весьма сжато, оценить возможность реализовать ИП на соответствующем эффекте так, чтобы выполнить требования п. 2.6 (линейность функции преобразования, минимум основной погрешности, слабое влияние неинформативных параметров и окружающей среды и т.д.).