- •1. Характеристики електричного струму
- •Умови існування електричного струму
- •Рівняння неперервності
- •2. Закон Ома. Опір провідників
- •Закон Ома для неоднорідної ділянки електричного кола та для замкнутого кола
- •3. Елементарні уявлення про механізм провідності металів. Закон Ома в диференціальній формі.
- •Закон Ома в диференціальній формі.
- •4. Розгалужені кола. Правила Кірхгофа
- •5. Робота і потужність струму. Закон Джоуля-Ленца
- •Робота по переносу зарядів в електричному колі
- •Потужність струму
- •Закон Джоуля-Ленца
- •6. Квазістаціонарні струми
- •8. Закон Біо-Савара
- •Магнітне поле рухомого заряду
- •Формулювання закону Біо-Савара
- •Застосування закону Біо-Савара
- •Магнітне поле прямого струму
- •Магнітне поле на осі колового струму
- •9. Основні закони магнітного поля
- •Потік вектора індукції
- •Теорема про циркуляцію вектора в (закон повного струму); вихровий (соленоїдальний) характер магнітного поля
- •Застосування теореми про циркуляцію вектора в для розрахунку індукції магнітного поля
- •10. Магнітне поле нескінченного соленоїда та тороїда (виведення формул).
- •11. Сила Ампера. Взаємодія провідників із струмом.
- •Сила Ампера
- •12. Сила і момент сили, що діють на контур в магнітному полі.(момент силы в 13 вопросе) Сила, що діє на контур із струмом у магнітному полі
- •13. Момент сили, що діє на контур із струмом у магнітному полі. Магнітний момент контуру. Момент сил, що діє на контур із струмом у магнітному полі
- •14. Робота при переміщенні контуру із струмом у магнітному полі
- •15. Намагнічування магнетиків
- •Намагніченість j
- •Струми намагнічування
- •16. Циркуляція вектора j
- •17. Вектор н (напруженість магнітного поля)
- •Магнітна сприйнятливість, магнітна проникність
- •18. Умови на межі магнетиків
- •18. Явище електромагнітної індукції. Основний закон електромагнітної індукції
- •Відкриття Фарадея
- •Основний закон електромагнітної індукції
- •20. Природа ерс індукції
- •Контур рухомий, магнітне поле незмінне
- •Контур нерухомий, магнітне поле змінюється. Вихрове електричне поле
- •Правило Ленца
- •22. Явище самоіндукції. Індуктивність
- •Індуктивність
- •Перехідні процеси в електричному колі при наявності індуктивності
- •23. Встановлення струму при вмиканні та вимиканні струму в котушці.
- •24. Енергія магнітного поля
- •25. Струм зміщення
- •26. Рівняння Максвелла
- •Система рівнянь Максвелла
- •19.3. Властивості рівнянь Максвелла
Застосування теореми про циркуляцію вектора в для розрахунку індукції магнітного поля
Для магнітного поля теорема про циркуляцію вектора B відіграє таку ж роль, як і теорема Гауса для електростатичного поля. У випадках високої симетрії розподілу струму теорема про циркуляцію дозволяє дуже просто визначати індукцію магнітного поля. Але це буває далеко не завжди, і в цих випадках розрахунки індукції треба проводити іншими способами, наприклад, за допомогою закону Біо-Савара. Нижче розглянуті ті практично важливі випадки, в яких теорема про циркуляцію дозволяє одержати результат з найменшими зусиллями, а саме: магнітне поле прямого струму, магнітне поле дуже довгого соленоїда, магнітне поле тороїда.
Магнітне поле прямого струму. Нехай постійний струм I тече по нескінченому дроту круглого перерізу радіуса R. Вважаючи, що струм рівномірно розподілений по перерізу дроту, визначимо індукцію магнітного поля залежно від відстані до осі цього дроту.
З огляду на симетрію задачі очевидно, що лінії вектора В є колами, центри яких співпадають з віссю дроту. При цьому модуль вектора В є однаковим на рівних відстанях від осі дроту. Тому побудуємо замкнутий контур у вигляді кола радіуса r з центром на осі дроту (рис. 16.9а). Оскільки вектор B у кожній точці контуру співпадає з дотичною до кола (тобто вектором ) і його модуль у всіх точках контуру однаковий, то . Тоді за теоремою про циркуляцію вектора В маємо
|
|
|
де струм, що проходить крізь поверхню, обмежену контуром.
Розглянемо два випадки: та .
У першому випадку контур охоплює весь струм, що тече по дроту, отже
|
|
(16.16a) |
що співпадає з (16.9) .
|
У другому випадку ( ) крізь поверхню, охоплену контуром, тече струм , отже
|
|
(16.15б) |
Графік залежності індукції від відстані r показаний на рис. 16.9б.
|
10. Магнітне поле нескінченного соленоїда та тороїда (виведення формул).
Магнітне поле дуже довгого соленоїда. Нехай струм I тече по дроту, намотаному по гвинтовій лінії на циліндричний каркас (рис. 16.10). Струм у кожному витку створює своє магнітне поле. В результаті їх накладання утворюється картина ліній вектора В, показана на рис. 16.10. Якщо дріт тонкий і витки намотані впритул один до одного, то виявляється, що магнітне поле зовні соленоїда результуюча індукція досить мала. Розрахунок і досвід свідчать, що чим тонше дріт, чим густіша його намотка і чим довше соленоїд, тим менше індукція зовні соленоїда. Якщо ж соленоїд дуже довгий, теоретично нескінчений, то магнітне поле існує тільки всередині соленоїда, зовні ж В = 0. Індукцію цього поля ми зараз і знайдемо, користуючись теоремою про циркуляцію вектора В. З міркувань симетрії зрозуміло, що поле всередині соленоїда повинно бути напрямленим вздовж його осі, причому напрям вектора В утворює з напрямом струму правогвинтову систему. Спочатку побудуємо прямокутний замкнутий контур так, як показано на рис. 16.11а. Циркуляція вектора В по сторонах 1-2 та 3-4 цього контуру відмінна від нуля, а по сторонах 2-3 та 4-1 рівна нулю. Якщо довжини сторін 1-2 та 3-4 дорівнює l, то за теоремою про циркуляцію маємо:
|
|
|
де B12, B34 величини індукції на відповідних сторонах контуру. В цьому виразі ураховано, що побудований контур не охоплює струмів, а також те, що рух по стороні 3-4 відбувається проти вектора В. Таким чином, після скорочення на l маємо:
|
B12 = B34, |
|
тобто індукція магнітного поля в будь-якій точці всередині нескінченого соленоїда однакова, отже поле є однорідним.
Тепер побудуємо замкнутий контур так, як показано на рис. 16.11б і обчислимо циркуляцію вектора В. Циркуляція по сторонах 2-3, 3-4, 4-1 дорівнює нулеві. Відмінна від нуля тільки циркуляція по стороні 1-2. Побудований контур охоплює N витків соленоїда, тому за теоремою про циркуляцію маємо: , звідки
|
|
(16.16) |
де N/l = n кількість витків на одиницю довжини.
|
Магнітне поле тороїда. Тороїд являє собою дріт, намотаний на каркас, що має форму тора, радіус середньої лінії якого дорівнює R (рис. 16.12а). Виходячи з симетрії розподілу струму нескладно зрозуміти, що лінії вектора В повинні бути колами з центром у центрі тороїда (точка О на рис. 16.12б). Тому візьмемо в якості замкнутого контуру коло радіуса r, яке розташоване всередині тора. Цей контур охоплює N витків із струмом I, отже теорема про циркуляцію набуває вигляду
|
|
|
Звідси маємо
|
|
(16.17а) |
Якщо використати кількість витків, що припадає на одиницю довжини середньої лінії тороїда , то
|
|
(16.17б) |
За умови, що R дуже велике (теоретично прямує до нескінченості) відміною між r та R можна знехтувати. Тоді
|
|
(16.17в) |
що співпадає з формулою для індукції поля нескінченого соленоїда.
Висновки. Результати, які були одержані вище, можна було б одержати за допомогою закону Біо-Савара. Однак застосування теореми про циркуляцію (закон повного струму) дозволила це зробити значно простіше і швидше.
Легкість, з якою були проведені розрахунки, є оманливою. Число задач, які можна розв’язати за допомогою цієї теореми, нажаль, дуже обмежена і стосується тільки високої симетрії розподілу струму. Навіть така задача як магнітне поле колового струму за допомогою теореми про циркуляцію не може бути розв’язана.