3. Момент количества движения материальной точки относительно оси.

М

Рисунок 10, а

оментом количества движения материальной точки (рис. 10).относительно некоторой оси называется скалярная величина , взятая со знаком или и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр , опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция (рис. 10, а):

(3.27)

П

Рисунок 11, б, в

равило знаков: смотрим навстречу оси (рис. 11, а). — при движении точки против хода часовой стрелки; (рис. 11, 6). — то же по ходу часовой стрелки (рис. 11, в).

, если 1) , 2) вектор пересекает ось

4. Связь между и .

— проекция на ось , т. е. (3.28)

П ример 7.

К

Рисунок12

руговой конус вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . По образующей конуса движется с вершины конуса материальная точка массы со скоростью . Определить момент количества движения точки относительно оси, когда она находится на расстоянии от вершины, равном половине длины образующей. Радиус основания конуса — (рис. 12).

Решение. Точка участвует в сложном движении: в относительном — движении по конусу и в переносном — вращении конуса. Относительная скорость , переносная скорость — . Момент количества движения точки относительно оси . Beктор пересекает ось , поэтому его момент равен нулю, т.е. . Тогда . Ответ. .

3.7. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси

1. Кинетический момент относительно центра.

Для точки системы — векторный момент. Для всей системы

(3.29)

К инетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.

2. Кинетический момент относительно оси

Д

Рисунок 13

ля точки — алгебраическая величина. Для всей системы (рис. 13)

(3.30)

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.

3 . Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис. 14).

Д

Рисунок 14

ля точки тела ; . Для всего тела , где — момент инерции тела относительно оси. Итак,

(3.31)

3.8. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра.

Д оказательство (рис. 15).

П

Рисунок 15

усть , , . . . — момент силы относительно точки . Итак, (3.32)

Следствие. Если линия действия равнодействующей приложенных к точке сил все время проходит через неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

П

Рисунок 16

римечание: Такая сила называется центральной. Например, рассмотрим движение спутника вокруг Земли (рис. 16). — сила притяжения, ее модуль зависит от расстояния между Землей и спутником. Так как , то — обратная зависимость между скоростями и расстояниями.

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси.

Доказательство.

Запишем (3.32) в проекциях на оси декартовых координат, учитывая, что , , и , , . Тогда , , (3.33)

где , , — моменты количества движения материальной точки относительно осей координат; , , — моменты силы относительно тех же осей.

Следствие. Если момент равнодействующей сил, действующих на материальную точку, относительно некоторой оси равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно той же оси остается величиной постоянной.

П ример 8.

К

Рисунок 17

концу нити привязана тяжелая гирька. Второй конец нити переброшен через неподвижный блок. Когда нить с грузом отклонили от вертикали на некоторый угол и сообщили ему вокруг вертикальной оси скорость , направленную по касательной к траектории, нить начали укорачивать со скоростью . Определить, с какой скоростью будет двигаться гирька вокруг оси , когда расстояние до оси уменьшится в 2 раза (рис. 17, а).

Решение. На гирьку (рис. 17, б) действуют силы: натяжение нити и вес гирьки. Применим теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно оси : . Сила пересекает ось , параллельна этой оси, поэтому . Вектор пересекает ось , его момент относительно оси равен нулю. Тогда .

Ответ. .