- •Раздел 3. Динамика.
- •Тема 3. Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы (часть 1)
- •3.1. Теорема о движении центра масс системы
- •3.2. Количество движения материальной точки и механической системы
- •3.3. Импульс силы
- •3.4. Теорема об изменении количества движения материальной точки
- •3.5. Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы
- •3. Момент количества движения материальной точки относительно оси.
- •3.7. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси
- •3.8. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •3.9. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
3.4. Теорема об изменении количества движения материальной точки
1. Теорема в дифференциальной форме.
Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме сил, действующих на точку.
Доказательство.
Запишем основной закон динамики в виде , ;
(3.17)
2. Теорема в интегральной (конечной) форме.
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени.
Доказательство.
(3.18)
Векторные равенства (3.17) и (3.18) можно записать в проекциях на оси декартовых координат:
, , (3.19)
, (3.20)
При решении задач уравнения (3.19) следует применять в тех случаях, когда на точку кроме постоянных сил действуют переменные силы, зависящие от скорости точки.
П ример 4.
Т
Рисунок 6
Решение. Применим теорему об изменении материальной точки в дифференциальной форме в проекции на ось . Покажем силы и (рис. 6).
;
. Ответ.
Уравнения (3.20) позволяют косвенным путем определить импульс сил, не зная ни сил, ни времени их действия, если при этом начальная и конечная скорости точки известны.
Пример 5.
М атериальная точка массы движется по окружности с постоянной скоростью из точки (рис. 7, а). Определить импульс сил, действующих на точку, за время, в течение которого точка пройдет — длины окружности.
Р
Рисунок 7, а, б
; .
Импульс сил . Ответ. .
3.5. Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы
1. Теорема в дифференциальной форме
Производная по времени от главного вектора количеств движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на эту систему.
Доказательство. На любую точку механической системы действуют силы и . Для этой точки в соответствии с (3.17) .
Для всей системы
, (3.21)
где ; .
В проекциях на оси декартовых координат (3.21) имеет вид
; , . (3.22)
Следствия из теоремы:
Если , то .
Если проекция главного вектора на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная. Например, , то .
2. Теорема в интегральной (конечной) форме.
Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, действующих на точки механической системы, за тот же промежуток времени.
Доказательство.
(3.23)
где — импульс главного вектора внешних сил.
Векторному равенству (3.23) соответствуют три равенства в скалярной форме
, , (3.24)
Следствия из теоремы.
Если , то .
Если , то
П ример 6.
Л
Рисунок 8
Решение. Внешними силами являются вес лодки , вес человека и выталкивающая сила , (рис. 8). Силой сопротивления движению пренебрегаем. Все силы перпендикулярны оси . Поэтому
.
. Ответ.
3.6. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси
1. Алгебраический момент количества движения относительно центра.
, .
Правило знаков: — при движении точки против хода часовой стрелки; — то же по ходу часовой стрелки.
Алгебраический момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра — скалярная величина, взятая со знаком или и равная произведению модуля количества движения на расстояние (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор :
(3.25)
2 . Векторный момент количества движения относительно центра (рис. 9).
В
Рисунок 9
Это определение удовлетворяет векторному равенству
(3.26)