Cтатистическая проверка гипотез Задание 19. Проверка гипотезы о соответствии фактического распределения нормальному

Условие. По данным интервального ряда распределения (табл. 2) проверить соответствие распределения хозяйств по урожайности нормальному, закону распределения .

Методика выполнения:

Проверка любой статистической гипотезы предполагает выполнение следующих этапов:

1. Описание статистической модели – в данном случае имеется совокупность независимых наблюдений, распределение которых неизвестно.

2. Формулируются гипотезы: нулевая (рабочая) гипотеза Н_о – фактическое распределение соответствует нормальному. Альтернативная гипотеза Н₁- фактическое распределение существенно отличаются от нормального.

3. Устанавливается уровень значимости , при котором будет приниматься или отвергаться гипотеза. В данном случае =0,05.

4. Выбор подходящего статистического критерия для проверки выдвинутой гипотезы. Наиболее мощным критерием для проверки гипотезы Н₀ является параметрический критерий х².

5. Определение из всей совокупности возможных значений выбранного критерия области согласия с нулевой гипотезой Н₀ и критической области или области отказа от нулевой гипотезы. В данном случае критическая область – все значения, лежащие выше 5% точки распределения х² с соответствующим числом степеней свободы.

6. Расчет по определенному алгоритму фактического значения критерия.

1. Фактическое значения критерия определяется по формуле

,

где - фактические частоты по интервалам;

- ожидаемые согласно нормальному распределению частоты.

При расчете фактического значения х² необходимо иметь в виду, что в каждом интервале должно быть не менее одного наблюдения, а интервалов с числом наблюдений и меньше 5 не более 20 % от их общего числа.

Чтобы выполнялось это условие для учебных целей целесообразно фактические частоты интервального ряда увеличить в 2 – 3 раза. Последовательность расчетов оформляется в табл. 21.

Таблица 21 – Расчет критерия х²

хi	хi+1	ni			(ui)	(ui+1)	рi=(ui+1)- (ui)			( )2	( )2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
					-0.5000	+0,5000
Х	Х	N=	Х	Х	Х	Х	р=1	N=	Х	Х

6.2. Вычислить нормированное отклонение по нижней и верхней границе каждого интервала по формулам в графах 4 и 5 табл. 21.

где х_i и х _i+1 – границы интервалов;

- среднее значение ряда распределения (задание 6);

 - среднее квадратическое отклонение (задание 7).

6.3. Определить вероятность попадания «Х» в интервалы Х_i -Х _i+1 по формуле р_i =(u_i+1) - (u_i), в которой

(u)= - функция Лапласа (прил.12.)

6.4. Найти значение теоретических частот и критерия по формулам, указанным в графах 9-12 табл.21.

6.5. Произвести контроль вычисления значения критерия х² по формуле

7. Сопоставить фактическое значение критерия с табличными, сделать заключение, в какой области (согласия или критической) находится фактическое значение критерия, о принятии или отказе от нулевой гипотезы с вероятностью ошибаться в своих выводах, равной  .

Табличное значение х² (прил.13) определяется уровнем значимости и числом степеней свободы:

к = m-1-ч

где к - число степеней свободы;

m – число интервалов ряда распределения с учетом укрупнения;

ч – число параметров, определяющих теоретическое распределение ( ,  ).

К= ;  = ; х²=

8. Сформулировать вывод о соответствии фактического распределения нормальному, закону распределения.

Задание 20. Проверка гипотезы относительно доли признака

Условие. На двух факультетах одного курса был проведен опрос студентов об удовлетворенности организацией учебной практики. На одном из факультетов из 150 студентов 85 ответили утвердительно, 65 – отрицательно. На другом – из 75 студентов 47 ответили «да» и 28 «нет». Требуется установить, однородны ли две совокупности полученных ответов, другими словами, имеют ли место существенные различия в доле утвердительных ответов.

Методика выполнения:

1. Определить доли утвердительных и отрицательных ответов по первой совокупности (р₁ и q₁) и по второй (р₂ и q₂):

р₁= q₁=

р₂= q₂=

2. Статистическая модель – в каждой выборочной совокупности наблюдения независимы и распределены по закону бинома.

3. Н_о – доля утвердительных ответов по совокупностям одинакова, т.е. Н_о: р₁=р₂; Н₁: р₁ р₂

4. =0,05

5. Наиболее мощным параметрическим критерием для проверки является Т – нормальное распределение, поскольку численность выборки превышает 20 ед. Значение Т найти из прил.7.

6. Фактическое значение определяется по формуле

,

где n₁ и n₂ – численность выборок (численность студентов по факультетам).

7. Сравнить Т табличное и Т_ф фактическое и дать заключение о доле утвердительных ответов.

Задание 21. Однофакторный дисперсионный анализ

Условие: На основе данных урожайности и себестоимости зерновых (задание 2; таблицы 3 и 5 ) произвести дисперсионный анализ существенности различий между средними значениями себестоимости 1 ц зерна по группам хозяйств.

Поскольку число сравниваемых групп больше двух, то существенность различий между группами доказывается с помощью анализа с использованием F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Н_о о равенстве между средними генеральной совокупности, где группировочный признак не оказывает влияние на себестоимость продукции.

Методика выполнения:

1. По данным таблицы 3 определить общий объем вариации себестоимости продукции по совокупности хозяйств, используя формулу:

W_общ = , где - средняя себестоимость 1 ц зерна по всей совокупности хозяйств.

2. Определить объем вариации внутригрупповой, вызванной случайными факторами: W_внгр= , где - средняя групповая себестоимость 1 ц зерна по каждой группе.

Используя правило сложения дисперсий, определить объем вариаций, вызванной группировочным признаком: W_мгр= W_общ - W_внгр

Для расчета дисперсий исходные данные заносятся в таблицу 22.

Таблица 22 – Исходные данные для расчета вариации

№№ хозяйств	Урожайность с 1 га , ц	Валовой сбор зерна, ц	Себестоимость зерна
			всего, тыс. руб.	1 ц, руб., уi
1 2 3 . . .
Итого по группе
1 2 3 . . .
Итого по группе
1 2 3 . . .
Итого по группе
Всего

3. Определить число степеней свободы каждой вариации: _общ. = n – 1 ;

_мгр = m – 1 ; _ост = n – m – 2 , где n – общая численность единиц совокупности; m – число групп.

4. Рассчитать дисперсии признака: межгрупповую ;

остаточную .

5. По найденным значениям дисперсий определяется фактическое значение F_факт : F_факт = , которое сравнивается с теоретическим, найденным по таблице для уровня значимости 0,05 и числе степеней свободы межгрупповой и остаточной дисперсий. Результаты расчетов заносятся в таблицу 23.

6. Сравнивая фактическое и табличное значения F – критерия нулевая гипотеза подтверждается при F_факт > F_табл или отвергается при F_факт < F_табл .

Таблица 23 – Анализ дисперций

Вариации	Объем вариации	Число степеней свободы	Дисперсия	Значение распределения
				фактическое	табличное
Общая Систематическая (межгрупповая) Случайная (внутригрупповая)