Розділ 3. Основні поняття математичної статистики. Випадкові величини та їх числові характеристики. А. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини.
Якщо проводиться вимірювання, або прийом сигналів то рівень їх величини буде різний, тобто буде змінюватись хаотично.
Звертаю увагу, що якщо б можна було врахувати усю сукупність умов реалізації випробування, то результат був би одним і тим же, детермінованим.
Випадковою величиною називають величину, яка в результаті спроби приймає одну і тільки одну величину, одне значення із можливих, наперед невідоме і що залежить від випадкових причин, які не можуть бути враховані точно.
Наприклад: Снаряд, якщо його випускати весь час в одних і тих же умовах настройки прицілу пушки буде пролітати різну віддаль.
Будемо далі позначати випадкові величини великими буквами X,Y, Z, тоді коли конкретні значення даних величин в певній реалізації малими буквами: x1, x2…
y1, y2…
z1, z2…
Дискретні та неперервні випадкові величини.
Дискретні випадкові величини можуть приймати цілком певні ізольовані один від одного значення від спроби до спроби.
Наприклад: Кількість працюючих в даний момент телефонних ліній зв’язку. Зрозуміло, що кожне дискретне значення має свою ймовірність появи. Число можливих значень може бути, як скінченим так і безмежним.
Неперервною називають випадкову величину, яка може приймати необмежену кількість різних значень з скінченого (а в), або необмеженого проміжку.
Б. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.
Ясно, що для визначення дискретної випадкової величини необхідно вказати не лише конкретну множину можливих значень, а і множину відповідних ймовірностей. Тобто кожному значенню Xі дискретної випадкової величини ставиться у відповідність ймовірність її появи.
Це робити необхідно по тій причині, що дана величина в іншому процесі хоча і буде реалізуватись один і той же набір {Хі} може мати зовсім інший набір ймовірностей {Рі}.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірністю.
Цей взаємозв’язок можна задати графічно, аналітично (у вигляді функції) та таблиці
X |
X1 |
X2 |
… |
P |
P1 |
P2 |
… |
P(xi)= f(xi); x є N
Графічне зображення закону розподілу, називається многокутником розподілу.
В. Приклади: біноміальний закон розподілу. Закон розподілу Пуассона.
1) Біноміальний закон.
Нехай виконується "n" випробувань із яких подія А може виконуватись з ймовірністю p, або не виконуватись з ймовірністю
q = 1 – p .
В якості дискретної випадкової величини виділяємо число реалізації події X.
Для розв’язку задачі по знаходженню закону розподілу кількості позитивних подій А при "n" дослідах необхідно встановити набір можливих значень та їх ймовірність.
Ясно, що у даній задачі Х = {0, 1, 2, 3, ..., n} можливі значення.
Відповідні ймовірності:
Формула (*) є аналітичним виразом шуканого закону розподілу.
Біноміальним законом розподілу називають розподіл ймовірностей, що задається формулою Бернуллі.
Тоді закон розподілу
.