Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.

Якщо генеральна сукупність випадкової величини має нормальний розподіл з невідомим математичним сподіванням “а” і відомою дисперсією σ² то і вибіркові середні задовольняють нормальний закон розподілу.

Тоді

та σ( ) = = ;

Необхідно встановити, оцінити значення “ ”так, щоб в інтервал ( -δ +δ) з імовірністю γ попав параметр “а”, тобто щоб виконувалось співвідношення

P(| -a|<δ) = γ

де γ - задана ймовірність виконання даного співвідношення.

Такого роду оцінку ми уже робили для нормально розподіленої випадкової величини, вона описується виразом

P[| -a|<δ]=2ф( )= γ.

Останнє співвідношення дає можливість встановити величину інтервалу (точковий параметр δ). Це дійсно повний розв’язок задачі, адже функція Лапласа ф( ) відома, табулювана і дозволяє легко встановити аргумент по її значенню , а, отже, і інтервал (а-δ, а+δ).

Приклад.

Нехай деяка випадкова величина описується нормальним законом розподілу з заданим середньо квадратичним відхиленням σ=3. Знайти інтервал надійності для оцінки математичного сподівання “а” по вибіркових середніх , якщо об’єм вибірки n=36 і задана надійність оцінки γ=0,95.

Розв. З рівняння , по таблицях, знаходимо аргумент функції t=1,96.

Однак

t= ; звідки

Якщо значення = 4,1 отримано експериментально для заданої вибірки ,то

-0,98=3,12; +0,98= 5,08

Отже шуканий параметр “а” попадає, з імовірністю 0,95 ,в інтеграл 3,12÷5,08. Тобто

P(3,12<a<5,08)=0,95. Формально такий запис є не вірним, так як “а” – const і імовірність даного співвідношення або 1, якщо виконується або ж “0”, якщо воно не виконується.

Часто необхідно, по умові дослідження, оцінити об’єм вибірки, тобто обчислити необхідний, мінімальний об’єм вибірки, якщо інтервал заданий. Тобто задано і σ і δ а невідомим є “n”.

Тоді

n = ;

Як і в попередньому випадку “ t ” знаходимо із умови 2ф(t)= γ.

Що ж робити у тому випадку , якщо невідоме?

Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.

У цьому випадку ми не можемо скористатись попереднім прикладом , так як аргумент функції Лапласа містить дві невідомі величини «a» та « ».

Тому, спочатку ,побудуємо по значеннях вибіркових значень середнього та середньо квадратичного відхиленні “S”, для об’єму вибірки “n”, нову випадкову величину

t = ;

яка, як виявляється, підкоряється закону розподілу Стьюдента з “n-1” степенями свободи.

Густина розподілу Стьюдента,щільність розподілу,описується співвідношенням:

де B_n= , Г(x) – це табулювання гамма

функція.

Як бачимо, розподіл Стьюдента визначається тільки об’ємом вибірки і не залежить ні від «а» ні від « ». Оскільки S(t,n) парна функція від t то імовірність виконання нерівності

<t_γ

визначається так

P( <t_γ)= .

В даному співвідношенні задані S, n, γ,невідоме – t_γ.

Рівносильне заданому вище є співвідношення

P( t_γ <a< t_γ )= .

Тобто, використавши розподіл Стьюдента ми можемо встановити інтервал надійності знаходження математичного сподівання генеральної сукупності при навідомій σ. Ним є ( t_γ , t_γ ), в який з імовірністю «γ» попадає математичне сподівання генеральної сукупності «а».

По таблиці “3” Гмурман, по відомому n і γ, встановлюємо t_γ.

Наприклад.

Нехай розподіл випадкової величини нормальний. По вибірці з n=16 елементів знайдено =20,2 і S=0,8 - виправлене значення середньо квадратичного відхилення вибірки. Необхідно оцінити невідоме значення математичного співвідношення, при допомозі інтервалу надійності, з надійністю 0,95. Тобто =0.95, n=16, =20,2, S=0,8 знайти t_γ

Розв’язок: Із таблиці “3” Гмурман по =0,95, n=16 знаходимо t_γ =2,13.. Довірним інтегралом для

І так, з ймовірністю =0,95, математичне сподівання знаходиться (потрапляє) в заданий інтервал(19,774;20,626).

n→∞

B_n→ ;

тобто розподіл Стьюдента при n→∞ переходить у нормальний розподіл.

Як показує практика, при n>30, можна цілком замінити розподіл Стьюдента на нормальний. Якщо ж вибірка мала n<30 то довірливий інтервал, який дає розподіл Стьюдента, досить широкий, значно ширший в порівнянні з розглянутим вище випадком заданого значення « », це справедливо, оскільки в малі вибірці знаходиться мало відомостей про випадкову величину, та її функцію розподілу.