Дисперсія вибірки , де

Ці формули зручні тим, що умовні варіанти “ ” є цілими числами, бо задають номер інтервалу.

Приклад. За допомогою умовних варіантів обчислити x, і S² для вибірки, якщо розподіл вибірки n = 100 має вигляд:

xi	2	3	7	9	11	12,5	16	18	23	25	26
ni	3	5	10	6	10	4	12	13	8	20	9

Розіб‘ємо відрізок 2 – 26 на такі 4 – відрізки з кроком h=6 ; відрізки [2,8); [ 8, 14); [ 14, 20); [ 20, 26] взявши середини відрізків за нові значення випадкової величини отримаємо:

x₁ =5, x₂ =11, x₃ = 17, x₄ = 23,

При цьому таблиця зменшиться.

xi	5	11	17	23
ni	18	20	25	37

18+20+25+37=100

Складаємо наступну розрахункову таблицю

xi	ni	Ui	niUi	ni
5	18	- 2	- 36	72
11	20	- 1	- 20	20
17	25	0	0	0
23	37	1	37	37
	100		- 19	129

Отже вибрана нами точка- , 1/100 ( - 19) = -0,19. Тоді

= 17 + ( - 0.19)6 = 15,86

S² = 6² ((1/100)129 – ( - 0,19)²) = 45,14

Відмітимо, що при обчислені вибіркової дисперсії, для зменшення помилки викликаної групуванням ( особливо при малому числі інтервалів ), роблять поправку Шеппарда і обчислюють дисперсію за формулою

Отже, групування спрощує обчислення, але при цьому, зрозуміло, втрачається деяка інформація, про що свідчить наявність поправки Шепарда.

Г)Багатовимірні випадкові величини.

Нехай є впорядкована система n випадкових величин .Називатимемо її n- вимірною випадковою величиною і позначатимемо так:

Тоді – це i-та випадкова величина. Упорядковану систему з n випадкових величин можна розглядати і як випадкову точку з координатами у n- вимірному евклідовому просторі .

Щоб задати випадковий вектор,потрібно вказати всі ті значення ,яких він може набувати,і ймовірності,з якими ці значення набуваються. Універсальним способом визначення вектора є вибір його інтегральної функції розподілу, яка визначається рівністю:

,

Це ймовірність того, що .

Зупинимося детальніше на двовимірному випадку. При цьому нехай , а . Властивості інтегральної функції розподілу двовимірної випадкової величини аналогічні властивостям функції розподілу випадкової величини. Перерахуємо їх.

1. 

2. F є не спадна функція по кожній із змінних.

3. ,

4. , ,

Двовимірну випадкову величину називають дискретною ,якщо множина значень,яких вона може набути,є скінченною або зліченою. Для визначення такої величини досить задати її можливі значення і ймовірності кожного з них : .Закон розподілу такої величини може бути заданий у вигляді таблиці з двома входами

			……..		…………
			……..		………....
			……..		…………
…….	………	……..	……..	……..	…………	………
			……..		………….
………	…………	……..	……..	…………	…………	…………
			……..		…………	1

Тут використано позначення:

,

З аксіоми адитивності випливає, що

Аналогічно

Таким чином,ймовірності задають розподіл випадкової величини розподіл випадкової величини .При цьому:

Функція розподілу випадкового вектора визначається рівністю

Де сумування поширюється на всі ,для яких а k набуває усіх значень, для яких .

Приклад 1. Якість продукції характеризується двома випадковими параметрами і .Закон розподілу двовимірної випадкової величини задано таблицею :

	5	6	7
0	0,2	0	0	0,2
0,1	0,1	0,15	0	0,25
0,2	0,05	0,15	0,1	0,3
0,3	0,05	0,1	0,1	0,25
	0,4	0,4	0,2	1

Знайти закони розподілу випадкових величин .

Доповнимо таблицю рядком і стовпчиком зі знаком , провівши сумування величин відповідно по рядках і стовпчиках. Тоді очевидно, що закони розподілу випадкових величин , мають вигляд:

	5	6	7
p	0,4	0,4	0,2

	0	0,1	0,2	0,3
p	0,2	0,25	0,3	0,25

Двовимірну випадкову величину називають неперервною, якщо існує така функція p, що функція розподілу F даної випадкової величини може бути подана у вигляді

Функцію називають щільністю розподілу випадкового вектора . При цьому:

у точках неперервності функції F(x,y).

Щільність розподілу має такі властивості:

1. ;

2. .

Знаючи щільність розподілу p двовимірної величини , легко знайти щільності розподілу для її компонент та .Справді,

Звідки

Аналогічно

і відповідно

Нехай задана дискретна двовимірна випадкова величина . Розглянемо функцію розподілу випадкової величини за умови ,що набула значення , . Цю функцію позначають .Імовірність того,що набуває значення , коли набуло значення , дорівнює

Аналогічно

У випадку неперервного розподілу вектора з’являються умовні щільності роз поділу ,коли , і , коли .Можна довести,що

Випадкова величина називається незалежною від випадкової величини , якщо розподіл не залежить від того, якого значення набула випадкова величина . Аналогічно визначається незалежність від . Якщо величини і незалежні, то (дискретний розподіл) і (неперервний розподіл).

Приклад 2.Нехай щільність розподілу двовимірної випадкової величини

Знайти функції розподілу випадкового вектора , випадкових величин і , умовні щільності розподілу.

Спочатку доведемо коректність означення випадкового вектора :

1. ,що очевидно.

2. 

Знайдемо функцію розподілу даного випадкового вектора :

Для всіх інших точок (x,y) F(x,y)=0 . Очевидно, що при x<0, бо не набуває від’ємних значень ; якщо x>0, то:

Далі

.

Аналогічно і

.