2) Розподіл Пуассона.

Нехай здійснюються "n" випробувань, в яких з ймовірністю "p" може появитись подія A.

Якщо "n" - велике число, то обчислити за допомогою біноміального розподілу важко через факторіали. Можна скористатись асимптотичною формулою Лапласа. Але дана формула не підходить, якщо ймовірність реалізації події А мала р< 0,1.

Для цього випадку ймовірність можна розрахувати за допомогою асимптотичної формули Пуассона.

І так, нехай число спроб "n" велике, а ймовірність події для одної спроби мала p < 0,1.

Знайти ймовірність, що "n" спроб дадуть "К" реалізацій події А.

Скористаємось формулою Бернуллі:

Якщо ввести параметр λ = рn, то і відповідно

Якщо n>>1 то можемо перейти до границі

Почленно поділимо

Ця формула виражає закон розподілу Пуассона.

Г. Інтегральна та диференціальна функції розподілу випадкової величини, їх властивості та функція розподілу (крива розподілу).

Інтегральна функція розподілу, або просто функція розподілу змінної Х називається ймовірність того ,що випадкова величина Х не спаде в інтервал .

Функція є не спадною, додатньо визначеною, при

; для .

Для дискретних випадкових величин функція розподілу є ступінчатою, причому неперервна зліва! Границя сходини належить наступному інтервалу:

Характерний графік

Існує іще одне визначення функції розподілу неперервної випадкової величини.

Випадкова величина ξ називається неперервною, якщо існує невід’ємна функція Pξ така, що для довільних х є R функція розподілу матиме вигляд (можна уявити як)

Тоді називається цільністю розподілу ймовірності або щільністю розподілу.

Легко побачити, що

- являється диференціальною функцією розподілу.

Властивості

1)

4) Якщо в точці х функція неперервна, то

.

Існують 2 задачі теорії ймовірності.

1. Знайти функцію розподілу для довільного значення “х”

2. Знайти те значення х0, при якому - заданій

ймовірності.

В цьому випадку х0 –називають квантіллю, що відповідає заданому рівню “P”.

Квантіль, що відповідає називається медіаною розподілу.

Характерний графік густини ймовірності, щільності розподілу, диференціальній функції розподілу

мода розподілу, це значення випадкової величини ξ, яке має найбільшу ймовірність. Якщо щільність має одну моду, то вона є унімодальною.

Імовірнісний зміст густини розподілу.

Нехай - інтегральна функція розподілу випадкової величини Х. Тоді густина ймовірності:

, або ж

Різниця - це ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал .

попадання в інтервал

х

, тому що .

Д. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.

1. Нехай ξ – дискретна випадкова величина з законом розподілу

ξ	x1	x2	……	xn	……
p	p1	p2	……	pn	……

Математичним сподіванням М(ξ) цієї випадкової величини називають суму ряду:

M(ξ)= x₁p₁₊ x₂p_2+…+ x_np_{n+ …=}

2. Якщо ξ- неперервна величина з щільністю ймовірності P_ξ(x) ,то математичним сподіванням називається число: