- •Конспект лекцій з курсу « Теорія ймовірності та випадкові процеси» Розділ 1 Вступ. Поняття ймовірності.
- •Коротка історична довідка.
- •Непарні
- •Властивості ймовірності подій
- •2. Основні формули комбінаторики.
- •Статистичне визначення ймовірності подій
- •1. Для лінійного випадку
- •2. Для плоского випадку
- •1.Умовна ймовірність.
- •Л) незалежні події. Теорема множення незалежних подій.
- •Часто ймовірність події ā позначають
- •0) Наслідки із додавання і множення.
- •1)Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
- •Р(в) – ймовірність попадання другого.
- •Розділ 2: послідовності незалежних випробовувань. Формула бернуллі
- •Вивід формули Бернуллі:
- •Б) Локальна теорема Лапласа (без доведення)
- •Розділ 3. Основні поняття математичної статистики. Випадкові величини та їх числові характеристики. А. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини.
- •В. Приклади: біноміальний закон розподілу. Закон розподілу Пуассона.
- •1) Біноміальний закон.
- •2) Розподіл Пуассона.
- •Г. Інтегральна та диференціальна функції розподілу випадкової величини, їх властивості та функція розподілу (крива розподілу).
- •Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.
- •Математичне сподівання має властивості:
- •Властивості дисперсії.
- •Сталий множник можна виключити
- •Якщо ξ: η- незалежні випадкові величини, то
- •Моменти к-того порядку.
- •Є. Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини
- •Правило трьох „σ”.
- •Ж. Поняття про функції випадкового аргументу і її закон розподілу.
- •Дискретна випадкова величина.
- •Неперервні випадкові величини
- •З. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева , теореми Чебишева та Бернулі. Поняття про теорему Ляпунова.
- •Теорема Бернулі.
- •Теорема Ляпунова. (Поняття).
- •Теореми Чебишева, Бернулі. Та теорема Ляпунова складають закон великих чисел.
- •Вибірка з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові характеристики. Загальні поняття математичної статистики.
- •Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.
- •Приклад.
- •Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.
- •Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
- •В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
- •Дисперсія вибірки , де
- •Складаємо наступну розрахункову таблицю
- •Г)Багатовимірні випадкові величини.
- •Розділ 5. Елементи теорії кореляції. А. Функціональна та статистична залежності.
- •Б) Знаходження кореляційного зв‘язку між випадковими величинами у вигляді рівняння лінії регресії.
- •В. Додавання дисперсій
- •Перевірка статистичних гіпотез.
0) Наслідки із додавання і множення.
1)Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
Якщо події сумісні, тобто їх геометрична інтерпретація має вид (заштрихована частина задає площу АВ)
то очевидно, що ймовірність об’єднання подій
p(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)
бо площа АВ враховується два рази.
Якщо події не сумісні то АВ=0 то, очевидно, р(АВ)=р(А)+р(В)
Наприклад. Ймовірність попадання в мішень снаряду з першої пушки р1 = 0,7 а з другої р2=0,8. Знайти ймовірність того, що мішень буде знищено, тобто в неї попаде хоча б один снаряд.
Р(А) – ймовірність попадання першого.
Р(в) – ймовірність попадання другого.
Р(АВ) – ймовірність попадання і першого і другого.
Тоді шукана ймовірність:
P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A)=0.7; P(B)=0.8; P(AB)=0.56
Добуток, бо події незалежні.
Тоді p(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94.
До речі попаданням хоча б одного: р(А+В)=1-q1q2=1-0.3*0.2=0.94
П) ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ.
Нехай подія А може відбутись при реалізації однієї із несумісних подій В1, В2,...,Вn, які створюють повну групу. Нехай нам відома сукупність умовних ймовірностей
РВ1(А), рВ2(А),..., рBn(А)
Як обчислити ймовірність події А?
Теорема :
Ймовірність події А, яка може відбутись лише при умові реалізації однієї із несумісних подій В1, В2,...,Вn, що створюють повну групу, рівна сумі добутків ймовірностей кожної із даних подій на відповідну умовну ймовірність події А.
Тобто:
Р(А)=р(В1)*р В1(А)+ р(В2)*рB2(А)+...+р(Вn)*pBn(A).
Ця формула називається формулою повної ймовірності
Наприклад.
Є два набора деталей. В першому ймовірність вибору стандартної деталі 0.8, а в другому 0,9.
Знайти ймовірність того, що взята деталь буде стандартною. (Ясно, що деталь можна взяти як із першого так із другого набору).
Розв’язок.
Нехай подія “А” – вибрати стандартну деталь.
Подія В1 вибрана із першого набору.
Подія В2 – з другого.
Ймовірність того, що деталь взята з “1”набору
Р(В1)=1/2; бо їх “2”
Аналогічно
Р(В2)=1/2.
Тоді
Р(А)=1/2*0,8+1/2*0,9 – буде шукана ймовірність вибору стандартної деталі
Р(А)=0,85.
Як бачимо, в формулу входять різні гіпотези, або вийняли з “1” або з ”2”.
Р) ЙМОВІРНІСТЬ ГІПОТЕЗ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА.
Нехай подія А може наступити при виконанні однієї із несумісних подій В1,...,Вn , що створюють повну групу. Оскільки наперед невідомо яка з подій реалізується, то реалізацію тієї чи іншої називають гіпотезою. Ймовірність появи події А
Р(А)=р(В1)*р В1(А)+ р(В2)*рB2(А)+...+р(Вn)*pBn(A)
можна обчислити з виразу повної ймовірності.
Допустимо, що подія А відбулась. Тоді цікаво, які ймовірності рА(В1)..... рА(В2) з врахуванням того, що подія А відбулась.
Спочатку визначимо ймовірність рА(В1). За теоремою множення ймовірностей (визначається перерізом множин) отримаємо:
Р(АВ1)=р(А)*рА(В1)=р(В1) рв1(А)
Звідси слідує, що
рА(В1)= (р(В1) рВ1(А))/ р(А)=( р(В1) рв1(А))/( р(В1)*р В1(А)+ р(В2)*рB2(А)+...+р(Вn)*pBn(A))
Аналогічно підраховується ймовірність події рА(Ві):
де і=1,…..,n.
Отримані формули називаються формулами Бейєса.
Формули Бейєса дозволяють провести переоцінку ймовірностей гіпотез після того, як став відомим результат спроби, в результаті якої відбулась подія А.
Приклад:
Деталі,виготовлені на заводі попадають для перевірки одному з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь попаде до першого рівна 0.6 а до другого - 0.4. Ймовірність того, що гідна деталь буде признана стандартною у першого - 0.94, відповідно, у другого - 0.98. Гідна деталь після перевірки виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що дану деталь перевіряв перший контролер.
Розв’язок. Подія А – гідна деталь признана стандартною. Можна допустити, що (гіпотези):
Деталь перевіряв 1й контролер ( подія В1)
Деталь перевіряв 2й контролер ( подія В2)
Ш укану ймовірність того, що деталь перевірив 1й контролер
З а умовою задачі
Тоді
В той час коли до виконання спроби
після досліду з виконанням події А отриманий результат є уточненим.