- •Конспект лекцій з курсу « Теорія ймовірності та випадкові процеси» Розділ 1 Вступ. Поняття ймовірності.
- •Коротка історична довідка.
- •Непарні
- •Властивості ймовірності подій
- •2. Основні формули комбінаторики.
- •Статистичне визначення ймовірності подій
- •1. Для лінійного випадку
- •2. Для плоского випадку
- •1.Умовна ймовірність.
- •Л) незалежні події. Теорема множення незалежних подій.
- •Часто ймовірність події ā позначають
- •0) Наслідки із додавання і множення.
- •1)Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
- •Р(в) – ймовірність попадання другого.
- •Розділ 2: послідовності незалежних випробовувань. Формула бернуллі
- •Вивід формули Бернуллі:
- •Б) Локальна теорема Лапласа (без доведення)
- •Розділ 3. Основні поняття математичної статистики. Випадкові величини та їх числові характеристики. А. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини.
- •В. Приклади: біноміальний закон розподілу. Закон розподілу Пуассона.
- •1) Біноміальний закон.
- •2) Розподіл Пуассона.
- •Г. Інтегральна та диференціальна функції розподілу випадкової величини, їх властивості та функція розподілу (крива розподілу).
- •Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.
- •Математичне сподівання має властивості:
- •Властивості дисперсії.
- •Сталий множник можна виключити
- •Якщо ξ: η- незалежні випадкові величини, то
- •Моменти к-того порядку.
- •Є. Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини
- •Правило трьох „σ”.
- •Ж. Поняття про функції випадкового аргументу і її закон розподілу.
- •Дискретна випадкова величина.
- •Неперервні випадкові величини
- •З. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева , теореми Чебишева та Бернулі. Поняття про теорему Ляпунова.
- •Теорема Бернулі.
- •Теорема Ляпунова. (Поняття).
- •Теореми Чебишева, Бернулі. Та теорема Ляпунова складають закон великих чисел.
- •Вибірка з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові характеристики. Загальні поняття математичної статистики.
- •Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.
- •Приклад.
- •Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.
- •Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
- •В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
- •Дисперсія вибірки , де
- •Складаємо наступну розрахункову таблицю
- •Г)Багатовимірні випадкові величини.
- •Розділ 5. Елементи теорії кореляції. А. Функціональна та статистична залежності.
- •Б) Знаходження кореляційного зв‘язку між випадковими величинами у вигляді рівняння лінії регресії.
- •В. Додавання дисперсій
- •Перевірка статистичних гіпотез.
Розділ 2: послідовності незалежних випробовувань. Формула бернуллі
Якщо досліди проводити послідовно один за одним в одних і тих же умовах, причому так, що ймовірність реалізації події А не залежить від наслідку інших випробувань, то такі випробування рахуються незалежними відносно подій А.
В подальшому будемо рахувати, що ймовірність події А в усіх випробовуваннях (спробах) одна і та ж.
Під складною подією будемо розуміти суміщення кількох подій, які будемо називати проектами.
Нехай приводиться „n” спроб отримати подію А, причому в кожній спробі ймовірність появи події „А” одна і та ж і рівна „p”. Ймовірність не реалізації події А буде q = 1 – p. Нехай необхідно дізнатися ймовірність отримати подію А „k” раз якщо здійснено „n” спроб.
Зрозуміло, що позитивна реалізація події А не повинна бути якоюсь певною. Шукану ймовірність можна обчислити по формулі Бернуллі.
Вивід формули Бернуллі:
Згідно теореми множення ймовірностей, якщо в „n” спробах реалізується „k” раз подія, то ймовірність однієї спроби даної ситуації обчислюється за формулою
Pn(1) (k) = pk qn-k
В даній формулі реалізується лише одна, певна послідовність виникання події А.
Наприклад 10001110... (тут k одиничок та n-k нулів)
Число комбінацій, які сприяють появі даного результату з ”n” спроб „k” позитивна реалізація події визначається:
Cnk = n!/k! (n-k)!
Якщо допускається, що до мети (виникнення „k” помірних реалізацій при „n” спробах) веде довільна комбінація як така 1010101..., так і інша 001110… то згідно суми ймовірностей незалежних подій шукана ймовірність буде:
Pn(k) = Cnk Pk qn-k = Pk qn-k (1)
Отримана формула називається формулою БЕРНУЛЛІ.
ПРИКЛАД: Ймовірність того, що на протязі доби екзаменаційні сесії двійок отримає не більше p = 0,1; Знайти ймовірність того, що за всю сесію (20 днів) на протязі 7 довільних днів отримало двійку не більше p = 0,1 студентів.
Ясно що при p = 0,1 a = 0,9 шукана ймовірність обчислюється за формулою:
P20(7) = C207 P7 q20-7 = 0,17 0,913
Набір чисел k = 0,1,2,...,n називається біноміальним розподілом, а саму формулу
Pn(k) = Cnk Pk qn-k
біноміальною формулою.
Оскільки 1n = 1, то
(p + q)n = Cnk Pk qn-k = 1 (2)
Число настання події являється найімовірнішим, якщо ймовірність даної події більша, за усі інші. Ясно, що для різних „k” ймовірність буде різною. Якщо n число незалежних випробовувань, p – ймовірність настання даної події в одній спробі а
q = 1 – p – ймовірність не послання події, то найімовірніше число настання події „k0” задовольняє нерівності :
(3)
Оскільки k0 – позитивне число, а різниця np + p – (nр – q) = p + q = 1, то завжди існує оптимальне значення k0.
Поведінка функції біномного розподілу від „k” можна дослідити так:
Обчислимо відношення
= ( ) для довільних k = 0,1,2,3,...,n
Ясно, що коли
> 1 – то ймовірність зростає.
Якщо ж
< 1 – то спадає.
Тоді
> 1 => pn – kp > kq + q,
pn – q > k (p + q), aле p + q = 1
Отже при k < pn – q ймовірність зростає.
Якщо ж k > pn – q, то функція буде спадати. Схематичний графік даної функції:
Як бачимо максимум обов’язково є.
Зрозуміло, що pn – q – не є цілим числом. Якщо врахувати однак , що k0 є цілим числом, то , як виявляється k0 мусить задовольняти нерівності .
Якщо ймовірність „p” одного порядку з величиною (1/n) при великих „n” або при
Р< 0,1 то обчислення згідно формули (1) можна здійснити спрощеним чином
(4)
де λ= n p
Необхідність заміни (1) на (4) виникає досить часто у випадках великого числа n, адже в (1) значно складніше проводити обчислення n!.
Формула (4) називається розподілом Пуассона. Даний розподіл є в таблицях.
Наприклад: На факультеті є близько 500 студентів. Яка ймовірність того, що 1-го вересня в 3-х студентів день народження. Ймовірність того, що в одного студента день народження 1-го вересня P = (365 днів у році); згідно (4) p n = = λ= 1,37 .
Тоді шукана ймовірність буде .
Спроба провести дані обчислення за допомогою формули (1) привела б до необхідності обчислення великих чисел, порядку 365!.
Що ж робити у тому випадку коли порушуються умови застосування формули Пуассона? Якщо, наприклад, p=0.4.