21. Средние показатели в рядах динамики

К средним характеристикам ряда относятся:

1. Средний уровень ряда динамики рассчитывается по средней хронологической, исчисленной из значений, изменяющихся во времени.

В интервальных рядах с равноотстоящими интервалами применяется простая средняя арифметическая:

Для интервальных рядов с неравноотстоящими интервалами применяется взвешенная средняя арифметическая:

Для моментных рядов с равноотстоящими интервалами применяется простая средняя хронологическая величина:

Для моментных рядов с неравноотстоящими интервалами применяется взвешенная средняя хронологическая величина:

2. Средний абсолютный прирост определяется как простая средняя арифметическая величина из цепных абсолютных приростов и показывает, на сколько в среднем изменялся показатель в течение изучаемого периода времени:

3. Среднегодовой темп роста определяется как средняя геометрическая из цепных темпов роста и показывает, сколько процентов в среднем составлял рост показателя.

Если цепные темпы роста опеределялись для рядов с равноотстоящими интервалами, то применяется простая средняя геометрическая величина:

,

где n – количество периодов времени.

Если цепные темпы роста были определены для рядов с неравноотостоящими интервалами, то при расчете среднегодового темпа роста применяется взвешенная средняя геометрическая величина.

Необходимо помнить, что темпы роста должны быть выражены в виде коэффициентов.

4. Среднегодовой темп прироста определяется также, как и темп прироста и показывает, на сколько процентов в среднем рос показатель в течение изучаемого периода времени

22. Изучение основной тенденции развития

Определение в рядах динамики общей тенденции развития.

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.

Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Суть метода в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики — метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:

— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:

...

...

...

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:

— — — — ,

сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.

Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;

.

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

Например, ,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:

Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .

Для прямой:

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является опреде­ление в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различ­ные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенден­ция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние фак­торы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздейст­вие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плав­ное и устойчивое изменение уровня явления во времени, сво­бодное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различ­ных случайных факторов. С этой целью ряды динамики под­вергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользя­щей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основ­ной тенденции в рядах динамики является укрупнение интер­валов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно дается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Рассмотрим применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятии в 1996. (табл. 7.7).

Таблица 7.7

Объем производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых ценах, млрд руб.

— х	Объем производства	Месяц	Объем производства
Январь	5,1	Июль	5,6
февраль	5,4	Август	5,9
Март	5,2	Сентябрь	6,1
апрель	5,3	Октябрь	6,0
Май	5,6	Ноябрь	5,9
Июнь	5,8	Декабрь	6,2

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл. 7.8), т.е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

Таблица 7.8 бьем производства продукции предприятия (по кварталам)

квартал	За квартал	В среднем за месяц
I	15,7	5,23
II	16,7	5,57
III	17,6	5,87
IV	18,1	6,03

Как видите после укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной: 5,23 < 5,57 < 5,87 < 6,03 млрд руб.

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы "скользит" по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Расчет скользящей средней по данным об урожайности

зерновых культур приведен в табл. 7.9

Таблица 7.9

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Год	Фактический уровень урожайности	Скользящая средняя
		трехлетняя	пятилетняя
1986	15,4	_	—
1987	14,0	15,4+14,0 + 17,6	-
		3 = 15.7
1988	17,6	14,0 + 17,6 + 15,4	14,7
		3 =15,7
1989	15,4	17,6 + 15,4 + 10,9	15,1
		3 =14,6
1990	10,9	14,6	15,2
1991	17,5	14,5	17,1
1992	15,0	17,0	16,8
1993	18,5	15,9	17,6
1994	14,2	15,9	-
1995	14,9	-	—
Итого:∑у = 153,4

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фак­тического на один член ряда в начале и в конце, по пятилети­ям — на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 7.4), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучае­мый период, связанную с действием долговременно сущест­вующих причин и условий развития.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следователь­но, потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают воз­можность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражаю­щую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравни­вания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

уt = f(t),

где уt — уровни динамического ряда, вычисленные по соответ­ствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней уt про­изводится на основе так называемой адекватной математиче­ской модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и дол­жен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображе­нии ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выра­жающими тенденцию развития, являются:

линейная функция — прямая уt = а₀ + а1t где а₀, а1- параметры уравнения; t — время;

показательная функция уt = а0 а t, ;

степенная функция — кривая второго порядка (парабола)

уt = ао + а1t + а2t.

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозиро­вания), при выборе вида адекватной функции можно использо­вать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится мето­дом наименьших квадратов, в котором в качестве решения при­нимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:

где уt - выравненные (расчетные) уровни; уi- фактические уровни.

Параметры уравнения а1, удовлетворяющие этому усло­вию, могут быть найдены решением системы нормальных урав­нений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, уt , наилучшим образом аппрокси­мирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической про­грессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: уt = ^ао + ^а1t Параметры а₀, а1согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных

методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (7.17):

(7.18)

где у — фактические (эмпирические) уровни ряда; t— время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за нача­ло отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t — условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-5 -3 -1 +1 +3 +5

При нечетном числе уровней (например, 7) значения ус­танавливаются по-другому:

1989 г. 1990 г. 1991 г 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-3. -2 -1 0 +1 +2 +3

В обоих случаях ^ t = 0, так что система нормальных уравнений (7.18) принимает вид:

Из первого уравнения а₀ = — —

Из второго уравнения: