1.6.4. Аксиальное течение вязкой жидкости в кольцевом канале

Меня ужасает вечное безмолвие этих пространств.

Паскаль

Стоит мне только коснуться математики,

я опять забуду все на свете.

С.В. Ковалевская.

Рассмотрим ламинарное течение вязкой жидкости в коаксиальном канале (радиальном зазоре между соосными цилиндрами) под действием перепада давления. Учитываем кривизну канала. Отметим, что при малой высоте радиального зазора между цилиндрами кривизной канала можно пренебречь и рассматривать течение как течение в плоской щели. Схема течения и система цилиндрических координат представлены на рис. 1.11. В поперечном сечении канала давление однородно, и можно считать r=0. В осевом направлении градиент давления постоянен Радиус наружного цилиндра R, внутреннего - kR, где k

Уравнение движения: , .

Граничные условия задачи. Условия прилипания к внутреннему и наружному цилиндрам записываются так: r= R, _z=0; r= kR, _z=0.

Умножим обе части уравнения движения на rdr и проинтегрируем

.

Подставляя выражение для касательного напряжения _rz, перейдем к уравнению для осевой скорости

.

Разделим обе части равенства на r

,

далее, разделим переменные и проинтегрируем

.

Найдем постоянные интегрирования с₁ и с₂, используя граничные условия. При этом получим систему алгебраических уравнений

Вычтем из первого уравнения второе

.

Откуда находим постоянную

.

Подставляя с₁ в первое уравнение системы, найдем

.

Следовательно, профиль осевой скорости описывается выражением

.

Видно, что распределение скорости существенно отличается от течения в плоской щели (см. раздел 1.6.2), где профиль скорости параболический.

Объемный расход жидкости определяется интегралом

.

Выполнив интегрирование, получим

.

Сила, действующая на поверхность центрального стержня длиной l, обусловленная касательным напряжением (иногда называемая сдирающим усилием), определяется выражением

,

где выражение для касательного напряжения в развернутой форме

.

Следовательно, касательное напряжение на поверхности цилиндра

.

В частном случае, при k0, что соответствует уменьшению радиуса центрального стержня , течение в кольцевом канале переходит в случай течения в круглой трубе (без центрального стержня). При этом профиль осевой скорости описывается параболой

,

а расход

,

описывается известной формулой Пуазейля

.

Знак минус обусловлен отрицательным значением градиента давления.

Пример.

Посредством экструдера формуется полиэтиленовая труба. Найти давление на входе формующей головки. Размеры формующего канала фильеры: диаметры канала 17 мм и 25 мм, длина канала 5 см. Эффективная вязкость полиэтилена 1000 Па.с. Производительность экструдера 10^.10^-3 м³/час.

Решение.

Используем формулу

Отсюда для давления имеем

.

Предварительно найдем К по формуле

,

где R_m, R_b – меньший и больший радиус формующего отверстия, соответственно.

Найдем производительность

.

Наибольший радиус R_b=12,5^.10^-3 м.

Подставим все величины в расчетную формулу

. ΔР=0,4 МПа.

Задачи.

1. Показать, что при малой разнице радиусов кривизну канала можно не учитывать и рассматривать течение как течение в плоской щели шириной 2πR. (Указание перейти к новой переменной К=1-ε, ε<<1. Учитывать асимптотические формулы (1-ε)ⁿ≈1-nε, ln(1-ε) ≈- ε).

2. Найти силу, действующую со стороны потока расплава на центральный стержень, для условий, представленных в примере.