1.6.5. Напорное течение вязкой жидкости в прямоугольном канале

Бросьте женщин, займитесь математикой.

Л. Фейхтвангер.

Рассматриваемый вид течения имеет место при литьевом формовании полимеров. Литьевые каналы пресс-формы выполняются часто прямоугольной формы. Задача состоит в определении поля скоростей и зависимости расхода от перепада давления.

Высота и ширина канала одного порядка. Поэтому задачу нельзя свести к вышерассмотренному случаю плоской щели. Размеры поперечного сечения канала 2а2в. Схема течения представлена на рис. 1.12.

Двумерное течение описывается уравнением движения

.

Давление однородно в поперечном сечении канала

.

Откуда следует, что в поперечном направлении течение отсутствует _y=_x=0.

Граничные условия задачи сводятся к условию прилипания жидкости к боковым стенкам x=a, _z=0; y=b, _z=0.

Согласно уравнению движения и граничным условиям, для скорости имеем задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Запишем уравнение движения так:

,

где .

Решение задачи ведем методом ортогональных проекций Бубнова-Галеркина. Будем приближенное решение искать в виде

,

где - некоторая система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям, с_i- неизвестные постоянные. Функции _i линейно независимы, т.е. для них должно выполнятся условие

С учетом симметрии задачи (x)=(-x), (y)=(-y), принимаем в первом приближении (первый член ряда n=1) базисную функцию в виде

_i=(a²-x²)(b²-y²).

А само приближенное решение ищем в форме

(a²-x²)(b²-y²).

где с- неизвестная постоянная (индекс 1 опущен).

Потребуем ортогональности невязки уравнения Пуассона к координатной функции в области определения дифференциального оператора. Ввиду симметрии задачи и граничных условий ограничимся первым квадрантом

.

Предварительно найдем входящие в невязку производные от скорости

Таким образом, в развернутой форме условие ортогональности невязки записывается

.

Вначале выполним интегрирование по x. Для чего раскроем скобки в подынтегральном выражении следующим образом:

.

Выполним внутреннее интегрирование

.

Далее, раскроем скобки для интегрирования по переменной у

.

В результате интегрирования получим алгебраическое уравнение для неизвестного коэффициента с

.

Раскрывая скобки, и приведя подобные члены, получим

.

Откуда находим выражение для неизвестного коэффициента с

.

Следовательно, в первом приближении поле скоростей описывается выражением

.

Расход жидкости определяется интегралом (учитывая симметрию, достаточно выполнить интегрирование в первом квадранте)

.

Выполнив интегрирование, с учетом выражения для осевой скорости, получим

.

Вспоминая выражение для параметра А, можем записать

.

Средняя по сечению скорость находится путем деления объемного расхода на площадь поперечного сечения канала

.

Если поперечное сечение представляет квадрат, то необходимо положить а=b. Имеем

.

В полученном приближенном решении постоянный множитель равен 5/36=0.139. Точное значение постоянного множителя 0.142. Расхождение составляет 0.003. Таким образом, полученное приближенное решение задачи вполне приемлемо для инженерных расчетов.

В случае бесконечной щели в выражении для средней скорости необходимо положить а² . При этом получим

.

В полученном выражении значение множителя составляет 5/18=0.279. Точное значение множителя 0.334.

Пример.

Найти гидравлическое сопротивление литника квадратной формы поперечного сечения со стороной 3 мм при формовании резины. Эффективная вязкость резины 10³ Па^.с, длина литника 0,2 м, расход резины 10 см³/с.

Решение.

Используем формулы

, .

Откуда можем записать для объемного расхода, учитывая равенство a=b,

.

Градиент давления может быть записан так: dP/dz=-ΔP/l. Поэтому имеем следующую формулу для давления:

.

Подставим численные значения

.

Задачи.

1. Повторить расчет примера, но для канала прямоугольного сечения 2х4 мм.

2. Можно ли пользоваться расчетными формулами в случае течения степенной жидкости?