7. Счётные множества. Теорема Кантора.

Все множества можно разделить на конечные и бесконечные.

В качестве первых можно привести, например, 1) множество всех вершин некоторого многогранника; 2) множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа; 3) множество молекул воды в данный момент на Земле и т.д.

В качестве бесконечных множеств можно указать, например,

множество всех натуральных чисел;

множество всех многочленов с рациональными коэффициентами и т.д.

Определение.

Множество называется бесконечным, если из него можно извлечь один элемент, два элемента и т.д., причём после каждого такого шага в этом множестве ещё останутся элементы.

Определение.

Счётное множество – это такое множество, элементы которого биективно сопоставимы со всеми натуральными числами, то есть это – множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность: а₁, а₂, а₃,…, а_n,….

Примеры счётных множеств.

Множество всех целых чисел.

Установим биекцию между множествами натуральных и целых чисел следующим образом:

0 –1  1 –2  2 …,

        

1  2   3   4   5 …, то есть

n  2n + 1, при n  0;

n  2|n|, при n  0.

Множество всех чётных положительных чисел, так как n  2n – биекция.

Множество степеней числа 2: 2, 4, 8,…,2n,… при показателе степени n  1. Здесь биекция – это: 2n  n, то есть

а₁ = 2, а₂ = 4, а₃ = 8,… .

4. Множество всех рациональных чисел. Каждое рациональное число записывается в виде  = , q > 0, p и q – взаимно простые целые числа.

Назовем сумму |p| + q высотой рационального числа . Ясно, что число дробей с данной высотой n конечно. Например, высоту 1 имеет только число , высоту 2 – два числа и , высоту 3 – четыре числа: , , , и т.д. Таким образом, каждому рациональному числу можно сопоставить некоторый порядковый номер. Следовательно, множество рациональных чисел счётно.

Определение.

Бесконечное множество, не являющееся счётным, называется несчётным множеством.

Теорема.

Всякое подмножество счётного множества конечно, или счётно.

Доказательство:

Пусть А – счётное множество, В – его подмножество. Занумеруем элементы множества А: а₁, а₂, а₃,…, а_n,…. Пусть – те из них, которые входят в В. Если среди чисел есть наибольшее, то В – конечно, в противном случае В – счётно, так как его члены занумерованы числами .

Теорема.

Сумма любого конечного или счётного множества счётных множеств есть снова счётное множество.

Доказательство:

Пусть – счётные множества. Не нарушая общности, будем считать, что они попарно не пересекаются, в противном случае следует рассмотреть множества и т.д. Эти множества являются также не более, чем счётными, так как всякое подмножество счётного множества конечно или счётно, а сумма этих множеств равна сумме множеств .

Итак, рассмотрим множества . Элементы этих множеств можно записать в виде бесконечной таблицы

,

где в i-той строке стоят элементы множества . Занумеруем элементы множеств “по диагоналям”, то есть за первый элемент примем , за второй - , за третий – и т.д., двигаясь по стрелкам:

.

Таким образом, каждый элемент каждого из множеств получит определенный номер, то есть будет установлено взаимно-однозначное соответствие между всеми элементами всех множеств и всеми натуральными числами. Теорема доказана.

Теорема.

Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Доказательство:

Пусть М – бесконечное множество. Выберем в нём произвольный элемент а₁. Так как множество М – бесконечно, в нём , а также а₃, отличный от а₁ и а₂ и т.д. Продолжая этот процесс, получаем счётное подмножество {а₁, а₂ …} множества М, что и требовалось доказать.

Определение.

Два множества М и N называются эквивалентными (М  N), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Определение.

Множество М называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Ясно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.

Примеры.

1. Множества точек на любых двух отрезках и эквивалентны между собой (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Точки p и q соответствуют друг другу, так как они являются проекциями одной и той же точки r вспомогательного отрезка ef.

2. Множество всех точек на плоскости  множеству точек на сфере (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Биекция устанавливается с помощью стереографической проекции.

3. Множество всех чисел в интервале эквивалентно множеству всех точек на прямой (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Биекция устанавливается, например, с помощью функции .