Определение.

Любое множество цепочек L ≤ А* ( где А* – моноид, множество всех возможных цепочек), называется формальным языком, если это множество цепочек определено на алфавите А.

Пример 1. Пусть А – множество букв русского алфавита. Тогда множество цепочек, составленных из пяти букв, представляет собой формальный язык L₁.

Другой пример языка, определенного на том же алфавите – множество L₂ пятибуквенных слов русского языка, которые можно разыскать в орфографическом словаре. Очевидно L₂ ⊂ L₁, так как многие цепочки языка L₁ не являются русскими словами.

Определение.

Пусть В и С – некоторые подмножества множества А*. Произведением множеств В и С называется множество D цепочек, являющихся конкатенацией цепочек из В и С, т. е. D = { X o Y | X ∈ B, Y ∈ C}.

Обозначается произведение следующим образом: D = ВC.

Определение.

Рассмотрим алфавит А.

Обозначим множество, состоящее из ε, через А₀.

Определим степень алфавита как А_n = A_n-1oA для каждого n ≥ 1.

Нетрудно показать, что множество всех возможных цепочек алфавита

Такое множество называют итерацией алфавита А.

Определение.

Усеченной итерацией алфавита А называют

Если X и Y – цепочки множества А*, то цепочку Х называют подцепочкой цепочки Y, когда существуют такие цепочки U и V из А*, что

Y = UoXoV.

При этом, если U – пустая цепочка, то подцепочку Х называют головой цепочки Y, а если V – пустая цепочка, то Х называют хвостом цепочки Y.

Конкатенация двух цепочек X и Y обозначается ХоY или XY.

Определение.

Рассмотрим пары цепочек (P₁, Q₁), (P₂, Q₂), ..., (P_n, Q_n) из А* х А*.

Соотношениями Туэ (подстановок) будем называть правила, согласно которым любой цепочке X = U P_i V из множества А* будет ставиться в соответствие цепочка Y = U Q_i V, из того же множества А* (i = 1, 2,...,n) и наоборот. Эти соотношения приводят к так называемым ассоциативным исчислениям.

Определение.

Если цепочка Y получается из цепочки Х однократным применением одного соотношения Туэ (т. е. заменой подцепочки P_i на подцепочку Q_i), будем говорить, что Х и Y являются смежными цепочками.

Определение.

Цепочка Х_n соотносима с цепочкой Х₀, если существует последовательность цепочек Х₀, Х₁, ..., Х_n , такая, что Х _i-1 и Х_i являются смежными цепочками.

Пример 2. Пусть А – множество букв русского алфавита, на котором определим соотношение Туэ, заключающееся в праве замены любой одной буквы слова на любую другую. Тогда в последовательности цепочек МУКА, МУЗА, ЛУЗА, ЛОЗА, ПОЗА, ПОРА, ПОРТ, ТОРТ, две любые соседние цепочки являются смежными, а цепочки МУКА и ТОРТ являются соотносимыми в смысле заданных соотношений.

Введение соотношений Туэ позволяет выделить среди множества языков определенные их классы, которые используются при построении автоматно лингвистических моделей самого различного типа.

Определение.

Соотношения Туэ являются двусторонними, если цепочка Х является смежной по отношению к цепочке Y, и наоборот, цепочка Y является смежной по отношению к цепочке Х.

Более интересными, с точки зрения теории формальных грамматик, являются соотношения, в которых введено направление.

Определение.

Если в соотношении Туэ определено направление, то их называют полусоотношениями Туэ или продукциями и обозначают следующим образом:

(Р₁ → Q₁), (P₂ →Q₂), ..., (P_n → Q_n).

Определение.

В том случае, когда имеется набор продукций, говорят, что цепочка Y непосредственно порождается из цепочки Х, и обозначается как Х ⇒ Y, если существуют такие цепочки U и V, что Х =U P_i V, Y = U Q_i V, а (Р_i → Q_i) – продукция из данного набора.

Определение.

Говорят также, что Х порождает Y. Если существует последовательность цепочек Х₀, Х₁, ..., Х_n такая, что для каждого i = 1, 2, ..., n

Х _i-1 ⇒ X _i , то говорят, что Х_n порождается из Х₀ (Х₀ порождает Х_n), и обозначают как Х₀ ⇒ * X_n. .

Грамматики Хомского соответствуют формальным комбинаторным схемам, являющимся полусистемами Туэ, в основу которых положены полусоотношения Туэ (продукции).