4. Примеры задач и упражнений. Пример 1

Доказать, что

. (1)

Доказательство

Метод математической индукции будем оформлять по следующей схеме.

1. Базис индукции: проверим равенство при . Левая часть (ЛЧ)=1, правая часть (ПЧ)=. Равенство при , то есть базис индукции, выполняется.

2. Индуктивное предположение: допустим, равенство (1) верно при , то есть допустим, что

. (2)

3. Индуктивный переход: докажем равенство (1) при , то есть докажем, что . В самом деле, . Здесь мы применили индуктивное предположение. Далее , что и требовалось доказать.

На основании ММИ равенство (1) верно при любом .

Пример 2

Доказать, что для любого

. (3)

Доказательство

1. Базис индукции: проверим утверждение (3) при . ЛЧ=, ПЧ=. Базис индукции доказан.

2. Индуктивное утверждение: допустим, (3) верно при , то есть допустим:

. (4)

3. Индуктивный переход: докажем (3) при , используя (4), то есть докажем, что

.

В самом деле,

.

Пример 3

Доказать, что для любого делится на 9. (5)

Доказательство

1. Базис индукции: проверим (5) при . ЛЧ=4+15-1=18 делится на 9.

2. Индуктивное предположение: допустим, (5) выполняется при , то есть делится на 9. (6)

3. Индуктивный переход: докажем (5) при , используя (6), то есть докажем, что делится на 9.

.

Первая скобка делится на 9 по индуктивному предположению. Осталось доказать, что второй слагаемый делится на 9, то есть надо доказать, что делится на 3. Это утверждение мы будем доказывать методом математической индукции, то есть нам придется применять "индукцию в индукции". При m=1 4+5=9 делится на 3. Допустим, делится на 3. Докажем, что делится на 3, но . Первый слагаемый делится на три по индуктивному предположению, а второе – очевидно. Таким образом, мы доказали, что делится на 3, а вместе с этим, что делится на 9.

Пример 4

для любого .

Доказательство

При n=1 неравенство очевидно: 2>1. Допустим, . Докажем, что . В самом деле, , так как по индуктивному предположению и  – очевидное неравенство.

Пример 5

для любого натурального .

Доказательство

При n=5 получаем верное неравенство 32>25. Допустим, неравенство верно при , то есть . Докажем, что . Это неравенство равносильно . Если мы докажем, что , то будет доказано и исходное неравенство. Неравенство доказываем индукцией (индукция в индукции). При имеем верное неравенство . Допустим, неравенство верно при , то есть . Докажем при , то есть докажем, что или . Очевидно, что это неравенство верно в силу индуктивного предположения.

5. Задачи для самостоятельного решения.

1. Доказать методом математической индукции, что для любого   .

2. Доказать методом математической индукции, что для любого ;

3. Доказать методом математической индукции, что для любого .

4. Доказать методом математической индукции, что для любого   .

5. Доказать методом математической индукции, что для любого ;

6. Доказать методом математической индукции, что для любого .

7. Доказать методом математической индукции, что для любого ;

8. Доказать методом математической индукции, что для любого .

9. Доказать методом математической индукции, что для любого справедливо равенство

10. Доказать методом математической индукции, что для любого

11. Доказать методом математической индукции, что для любого .

12. Доказать методом математической индукции, что для любого .

13. Доказать методом математической индукции, что для любого .

14. Доказать методом математической индукции, что для любого   .

15. Доказать методом математической индукции, что для любого   .

16. Доказать методом математической индукции, что для любого .

17. Доказать методом математической индукции, что для любого .

18. Доказать методом математической индукции, что для любого   .

19. Доказать методом математической индукции, что для любого ;

20. Доказать методом математической индукции, что для любого .