Индуктивный переход.

Предположим, что утверждение теоремы (её достаточной части) справедливо для любого графа, у которого .

Докажем, что тогда оно справедливо и для графа, у которого . Так как степени всех его вершин чётны, то по Лемме на этом графе существует простой цикл . Если этот цикл проходит через все дуги графа , то он и есть искомый эйлеров цикл, и индуктивный переход доказан.

В противном случае рассмотрим граф, полученный из удалением дуг цикла .

Каждая его компонента связности — конечный связный граф с чётными степенями вершин и дуг, меньшим либо равным . Тогда, по предположению индукции, на каждой компоненте связности существует эйлеров цикл. Обозначим Эйлеровы циклы компонент соответственно. Поскольку исходный граф связен, то цикл имеет хотя бы по одной общей вершине с компонентами графа . Выберем по одной общей с циклом вершине на каждой компоненте .

Искомый эйлеров цикл на графе построим следующим образом: отправившись по циклу из произвольной его вершины, движемся по нему до тех пор, пока не встретим вершину из множества тогда от вершины пройдём по Эйлерову циклу на соответствующей компоненте графа , после чего продолжим движение по циклу до тех пор, пока не встретим вершину , опять прервём движение по и пройдём по Эйлеровому циклу соответствующей компоненты и т.д. В результате движения по циклу мы побывали во всех вершинах множества , а значит, пройдём по всем циклам .

Процесс склейки эйлерова цикла из цикла и циклов похож на сборку ожерелья с подвесками. Индуктивный переход, а вместе с ним и вся теорема доказана.

Определение.

Связный граф называется квазиэлеровым, если на нём существует простая цепь проходящая через все дуги графа.

Теорема (критерий квазиэйлеровости).

Для того, чтобы конечный связный граф был квазиэйлеровским необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были чётными числами (при этом важен выбор начала цикла) или степени всех его вершин, за исключением ровно двух, были чётными числами, причём в первом случае эйлерова цепь является эйлеровым циклом, а во втором случае эйлерова цепь начинается в одной из вершин нечётной степени, а заканчивается в другой вершине нечётной степени.

13. Гамильтовы циклы.

Эйлеровы циклы характеризуются тем, что существуют циклы, содержащие каждое ребро один раз. Гамильтовы циклы определяются для конечно связных графов аналогичным образом, но только по отношению к вершинам.

Определение.

Простой цикл называется гамильтовым, если он проходит через каждую вершину графа.

Определение.

Гамильтовой цепью в графе называется простая цепь, проходящая через все вершины по одному разу.

Пример:

Так называемая задача о бродячем торговце (коммивояжёре) также является задачей относящихся к гамильтовым цепям. Будем говорить, что простая цепь полная, если её нельзя продолжить при помощи добавления рёбер к какому-нибудь из концов.

Теорема.

Полная простая цепь длины имеет тип цикла, если , где – локальная степень вершины .

Теорема.

Максимальная (длиннейшая) простая цепь в связном графе может иметь тип цикла только тогда, когда граф имеет гамильтов цикл.

Теорема.

В связном графе либо имеется гамильтов цикл, либо длина его максимальных простых цепей удовлетворяет неравенству .

Теорема.

В графе без гамильтовых циклов длины его максимальных простых цепей удовлетворяют неравенству , где и – две наименьшие локальные степени.

Теорема.

Если в графе с вершинами для любой пары вершин и , , то имеет гамильтову цепь.

Если , то имеет гамильтов цикл.

Отсюда, в частности следует результат Дирака о том, что граф имеет гамильтов цикл, если для каждой его вершины .