2.3 Точка в системі трьох площин проекцій

1. Щоб визначити форму складної фігури, користуються способом проекціювання на три площини проекцій. Цю третю площину — профільну площину проекцій — розта­шовують праворуч від спостерігача, перпен­дикулярно одночасно до горизонтальної П₁ і фронтальної П₂ площин проекцій (рис. 2.3).

2. Три площини проекцій у своєму пере­тині утворюють вісім тригранних кутів, поді­ляючи простір на вісім частин — вісім октан­тів. Відлік октантів показаний на рис.2.3. Ребрами цих октантів (тригранних кутів) є осі ОХ, ОY, ОZ, а площинами — відповідні части­ни площин проекцій П_1, П_2, П₃. Точку перетину трьох осей О називають початком осей про­екцій. Додатні напрями осей проекцій пока­зані на рис.2.3.

Отже, за напрямом осей проекцій відносно точки О легко уявити кожний октант. У таб­лиці знаками «+» та «-» позначено напрями осей проекцій для кожного октанта.

Осі проекцій	Октанти
	I	II	II	IV	V	VI	VII	VIII
OX OY OZ	+ + +	+ - +	+ - -	+ + -	- + +	- - +	- - -	- + -

3. Щоб перейти від просторової системи трьох взаємно перпендикулярних площин проекцій до плоскої (до епюра), потрібно горизонтальну площину проекцій обернути навколо осі ОХ, як і в системі П_1, П_2,,

Рис. 2.3

а профіль­ну — навколо осі ОZ у напрямі проти руху годинникової стрілки до суміщення її з фро­нтальною площиною проекцій. Обертання цих площин проекцій на рис. 2.3 показано стрілками. Вісь ОY при цьому неначе роздво­юється, тобто одна її частина належить П₁, а інша — П₃.

Рис. 2.4

Розгортка координатних осей показана на рис. 2.4.

4. На рис. 2.5,а наочно зображено якусь точку А в просторі першого октанта, а на рис. 2.5,б — епюр цієї точки.

Як бачимо з епюра, горизонтальна A₁ і фро­нтальна A₂ проекції точки А лежать на верти­кальній лінії проекційного зв'язку, фронталь­на А₂ та профільна А₃ проекції — на горизон­тальній лінії проекційного зв'язку.

Відстані до осей ОХ, ОУ, ОТ. на епюрі (рис.2.5) визначаються відповідно відрізками l_x,l_y, l_z.

Рис. 2.5

5. Проекції точки на епюрі визначаються такими координатами:

горизонтальна —X і Y; фронтальна —X і Z; профільна — Y₁ і Z.

6. За горизонтальною і фронтальною про­екціями точки можна визначити її профільну проекцію або графічною побудовою (рис. 2.6, 2.7), або перенесенням величини ко­ординати Y₃ горизонтальної площини проек­цій на профільну (рис. 2.8) (координатний спосіб).

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Завдання 2. Рекомендації щодо виконання:

Побудувати епюр та наочне зображення (косокутну фронтальну диметрію) заданих у табл. точок. Указати місце їх розташування. Завдання виконати в системі трьох площин проекцій.

Приклад виконання подано на рис. 2.9.

Таблиця 2.2

Рис. 2.9

2.4 Сліди прямої лінії. Справжня величина відрізка прямої лінії та кути нахилу її до площини проекції.

1. Слідами прямої називають точки пере­тину ЇЇ з площинами проекцій.

2. Горизонтальним слідом прямої назива­ють точку її перетину з горизонтальною пло­щиною проекцій. Умовимося горизонтальний слід позначати літерою М, його проекції—М₁, М₂, М₃. Для визначення горизонтального слі­ду прямої l₂ досить продовжити фронтальну проекцію прямої l₂ до перетину з віссю ОХ у точці М₂ (рис. 2.10); з отриманої точки про­вести перпендикуляр до перетину його з го­ризонтальною проекцією прямої l₁, у точці М₁, яка й буде горизонтальним слідом М.

3. Фронтальним слідом прямої називають точку її перетину з фронтальною площиною проекцій. Умовимося фронтальний слід по­значати літерою N, його проекції— N₁, N_2, N₃. Для визначення фронтального сліду прямої l досить продовжити горизонтальну проекцію прямої l₁, до перетину з віссю ОХ у точці N₁ (рис. 2.10); з отриманої точки провести пер­пендикуляр до перетину його з фронтальною проекцією прямої l₂ у точці N₂, яка й буде фронтальним слідом N.

4. Профільним слідом прямої називають точку її перетину з профільною площиною проекцій. Профільний слід збігається зі сво­єю профільною проекцією, а горизонтальна і фронтальна його проекції лежать відповідно на осях ОY і ОZ. (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Справжню величину відрізка довільної прямої за його проекціями визначають як гі­потенузу прямокутного трикутника, побудо­ваного на одній проекції як на катеті. Другим катетом трикутника є різниця відстаней кін­цевих точок відрізка від тієї площини проек­цій, проекція на яку прийнята за перший ка­тет (рис. 2.11).

2. Кут між проекцією і справжньою величи­ною відрізка є кутом між прямою і відповід­ною площиною проекцій: — кут між прямою АВ і площиною проекцій П₁; — кут між пря­мою АВ і площиною проекцій П₂; — кут між прямою АВ і площиною проекцій П₃ (рис. 2.11).

Завдання 3. Рекомендації щодо виконання:

Побудувати сліди прямої l, заданої точками А і В. Вказати, через які октанти проходить пряма.

Дані до завдання взяти з табл. 2.3. Приклад виконання подано на рис. 2.12

Табл. 2.3

.

Рис. 2.12

Завдання 4. Рекомендації щодо виконання:

Визначити справжню величину відрізка АВ та кути нахилу його до площин проекцій П,₁ П₂, П₃. Дані до завдання взяти з табл. 2.4.

Приклад виконання подано на рис. 2.13.

Таблиця 2.4

Рис. 2.13