Глава 3. Векторная алгебра §14.Векторы, равенство векторов , коллиниарность и компланарность векторов, разность , умножение векторов. Свойства этих операций.
Длина отрезка |АВ| - длина вектора 
Под вектором обычно понимается величины , для задания которых необходимо знать не только их численное значение, но и направленное действие (Например, перемещение точки, скорость, ускорение, сила).
Величины для задания которых достаточно знать лишь их численное значение (например температура), называются скалярными величинами или скалярами. Обычно вектор обозначают как направленный отрезок.
А В
Определение: Система векторов
называется коллинеарной, а
эти векторы называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой
или на параллельных прямых.
1)
2)
В первом случае векторы коллинеарны, во втором – сонаправлены.
Определение: Система компланарная, а векторы – компланарные, если векторы находятся в одной плоскости или на параллельных плоскостях.
(Два вектора всегда компланарны.)
Определение:
-
нуль-вектор:
(Вектор, у которого конец и начало совпадают – нуль-вектор)
Этот вектор не имеет направления и коллинеарен любому вектору.
Свойства:
1.
-
Если
,
то
-
,
,
≠0 →
Определение: Векторы равные, если:
-
они коллинеарные
-
равны по длине
-
направлены в одну сторону
Определение: Если векторы коллинеарны, равны по длине, направлены в разные стороны, то они противоположные.
Определение: Множество всех векторов, равных заданному, называется свободным векторам.
14.1 Сложение векторов
-
Правило параллелограмма.
A C
=
+
(Векторы а и b не
коллинеарные.)
O
B
Рис 14.1
2) Правило треугольника
С
=
+
(Векторы а и b могут
быть коллинеарные.)
О
В
Рис 14.2
14.2 Умножение вектора на число
Правила(Определения):
1)
;
2)
=
|λ| |
|;
3)Эти векторы сонаправленны, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0.
Свойства:
-
0
=
; -
|
+
|
≤ |
|
+ |
|
и |
+
| = |
|
+ |
|
↔
↑↑
–
и
параллельны и сонаправленны; -
|
-
|
≥ ||
|
-|
||
и |
+
| =| |
|
- |
||
↔
↑↓
–
и
параллельны и противоположно
направлены.При этом вектор
+
направлен
в сторону того из векторов
или
,
который имеет большую длину.
14.3 Свойства линейного пространства
-
+
=
+
(очевидно, если сложить по правилу
параллелограмма) -
(
+
)
+
=
+ (
+
) -
+
=
-
+ (-
)
=
-
λ(
+
)
= λ
+ λ
-
(λ + μ)
= λ
+ μ
-
(λμ)
=
λ(μ
) -
1×
=
Докажем свойства 2) ÷ 8):
2) Ассоциативность
С
+
=
+
=
+ (
+
)
=
+
=
(14.1)
(
+
)
+
=
+
=
(14.2) В
(14.1) = (14.2) 
О 
А
Рис 14.3
3)
+
=
-
По определению:
–
=
+ (-
).
=
,
тогда -
=
:
–
=
+ (-
)
=
+
=
=
-
Пусть
0 ,
0, λ
0
(иначе 5-е свойство становится тривиальным:
=
,
или ( при
= 0); λ
=
λ), предположим:
и
неколлинеарные.(случай
||
будет доказан в §16 п.16.2)
Пусть точка О – начальная точка
вектора
.(см.
рисунок 14.4)
В’
В
=
=
λ
=
λ
=
Также:
||
(т.к. λ
||
)
и
OAB
=
OA`B`.
Т
акже:
О А А’
Рис 14.4
Поэтому ΔOA`B`
~ ΔOAB,
B`OA`
=
BOA
, т.е точка B лежит на прямой
OB’.
Но
`
=
`
+
= λ
+
λ
(14.3);
=
+
=
+
(14.4)
`||
,
т.к. ∆OAB ~ ∆OA’B’
, 
т.е.
(14.5)
Подставляем (14.3) и (14.4) в (14.5) получаем
λ
+
λ
= λ(
+
).
-
Можно полагать, что λ
0,
μ
0,
0,
иначе свойство (6) становится тривиальным:
=
.
(или при μ = 0, λ
= λ
)по
определению (см.14.2 , правило 1)считаем,
что λ
║
,
μ
║
→ (λa + μ
)
║
(14.7)
и (λ + μ)
||
(14.8).
Из (14.7) и (14.8) следует, что (λ+ μ)
|| λ
+ μ
.
Далее надо рассматривать следующие случаи:
а) λ > 0 , μ > 0
б) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ > 0
в) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ < 0
г) λ < 0 , μ < 0
Рассмотрим, например, случай (б): т.к. λ
+ μ > 0, то (λ
+ μ)
↑↑
,
λ
↑↑
,
μ
↑↓
,
т.е. μ
↑↓λ
.
Поэтому вектор
коллинеарен как
,
так и
,
и направлен в сторону более
длинного вектора, т.е.
.
(14.10)
Из случая (б) имеем:
,
т.е.
из (14.10) следует
(14.11)
т.е. векторы
и
имеют одинаковую длину.
Заметим, что
,
ибо
имеет большую длину, чем
Поэтому
и случай б) доказан
(Остальные случаи читателю предоставим рассмотреть самостоятельно.)
-
Заметим, что
(14.12)
т.е.
(см 14.12));
(14.13)
Покажем, что
(14.14)
Для чего рассмотрим следующие случаи:
а)
б)
в)
г)
Рассмотрим, например, случай (в) (остальные случаи просим читателя рассмотреть самостоятельно):
и потому
(14.15)
также
,
,
т.е.
(14.16)
сопоставляя (14.15) и (14.16), получим (14.14).
8)
и
,
т.е.
