27.3 Свойства смешанного произведения
1.
-перестановка
сомножителей меняет знак.
-
циклическая замена не меняет знак.
2.
3.
Эти свойства доказаны в конце §28
27.4Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов
Теорема
-
компланарная тогда и только тогда
когда
Доказательство:
Если
компланарные , то паралелепипед
имеет нулевой объем (см. Рис 27.1)т.е.
получим , что
,
Справедливо рассуждение и в обратную
сторону, что читателю предлагается
провести самостоятельно.
§28 Смешанное произведение векторов в координатной форме
(см. (24.9)и (26.1))
Рассмотрим
Последнее равенство получается
разложением определителя
по его третей строке.
Значит:
(28.1)
Следствие: Определитель третьего порядка равен нулю, тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы.
-коллинеарные
и линейно зависимые.
Свойства же 1),2),3) смешанного произведения (см. §27 п. 27.3) теперь легко следует из свойств 2),4) и 7) определителя третьего порядка( см. §1, п. 1.3)