Шаг индукции

– базис (18.11)

По индуктивному предположению имеем, что – базис; т.е. (18.12)

(18.13), но , т.к. если , то , т.е. система – л.з.

(18.10),

т.к. система (18.11) – базис, то, из леммы 18.1 имеем , т.е. система полная (18.14).

Пусть (18.10) – л.з.

(18.10) без линейно не зависима, т.к. является частью базиса.(18.11) По лемме 17.1 следует: .

Но , и тогда по лемме 18.2:

Из этого следует, что (18.11) линейно зависима, чего не может быть. Следовательно, предположение о л.з. (18.10) неверно, т.е. система – базис.

Линейное подпространство

Определение: Подмножество L линейного пространства С называется линейным подпространством, если и вещественного : и .

Линейный оператор

Пусть X и Y – линейные пространства и A:X Y

Определение: А называется линейным оператором, если

1);

2).

Определение: Ядром линейного оператора (обозначается – ker) называется множество всех таких точек x линейного пространства, для которых .

Теорема 18.4: ядро линейного оператора является подпространство линейного пространства.

x,

Следовательно, ядро любого оператора – линейное подпространство.

§19. Исследование систем линейных уравнений

19.1. Однородные системы

(19.1)

Ее матричная форма записи есть: (19.2)

Аx – линейный оператор, переводящий множество столбцов в множество столбцов по формуле .

Теорема 19.1:

Пусть– решение, а – решение, тогда - решения.

, а решение системы .

(19.7)

Её матричная форма записи:

(19.8)

Определения:

Система (19.7) - однородная система линейных уравнений.

Система (19.1) - неоднородная система линейных уравнений.

(при , т.е. )

Т.е. всякое решение однородной системы (19.8) является ядром линейного оператора. Поэтому множество решений однородной системы (19.8) является линейным пространством.

Теорема 19.2: Множество решений системы (19.7) – линейное пространство размерностью n-r, где r – ранг матрицы А.

Определение: Базисным называется не равный нулю минор матрицы А, порядок которого равняется рангу матрицы.

Определение: Базис во множестве решений однородной системы (19.8) называется фундаментальной системой решений.

Пусть базисный минор содержит столбцы . Тогда – базисные неизвестные, а остальные – свободные неизвестные. Будем считать далее, что неизвестные – базисные, а – свободные неизвестные.

Положим – матрица, соответствующая базисному минору у матрицы системы (19.7), а – остальные столбцы матрицы этой системы с противоположным знаком. Тогда, перенеся члены со свободными неизвестными в правые части всех уравнений системы (19.7), получим уравнение:

(19.9)

А так как матрица в левой части (19.9) - невырожденная, то система (19.9) имеет единственное решение, т.е. каждому набору свободных неизвестных соответствует единственный набор базисных неизвестных.

Доказательство теоремы 19.2:

Рассмотрим наборы:

(19.10)

Пусть – решение , – решение , …, – решение системы

Пусть … (19.12)

Покажем, что – базис в пространстве решений (19.7).

1) Линейная независимость :

Пусть, т.е.

или (19.13)

Сравнивая в левых и правых частях столбцов равенство (19.7) их нижних n-r чисел, получаем, что , т.е. система – линейно независима.

2) Полнота

Пусть – произвольное решение системы (7), тогда имеем (19.14)

(докажите равенство (19.14) используя определение в (19.10))

Но согласно формуле (19.9), базисные неизвестные однозначно определяются из системы

(19.15)

поэтому из теоремы 19.1 и равенства (19.15) имеем: (19.16)

Соединяя столбцы в равенство (19.14) и (19.1Б) (сверху напишем столбцы из (19.16), снизу из (19.14)) и используя определение (19.12), получим: (19.17)

Равенство (19.17) означает, что всякое решение системы (19.7) выражается через решения по формуле (19.17). Поэтому совокупность решений – полна, и, сопоставляя с ранее доказанной линейной независимостью , получим, что – базис, имеющий (n-r) решений. Теорема 19.2 полностью доказана.