§5. Произведение матриц

5.1 Свойства операции суммы

По определению, обозначим за и . Справедливы следующие три свойства:

1) (5.1)

Доказательство:

2) (5.2)

Доказательство: 3) (5.3)

Доказательство:

5.2 Определение произведения матриц и его некоммутативность

Положим: ; А: m .

Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение АВ не определено).

Тогда произведением матриц А и В является матрица С, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя (матрицы А), а число столбцов ­– с числом столбцов второго множителя (матрицы В): С=АВ; С: mn; , и элементы которой определяются по формуле:

Пример: Пусть

тогда: .

Заметим, что . Мы показали, что, вообще говоря, , т.е. произведение матриц не коммутативно.

5.3 Ассоциативность произведения матриц

Пусть матрица А= имеет размер ;

пусть матрица В= имеет размер .

Тогда произведением матриц , где (5.4) — матрица размера .

Чтобы произведение было определено, матрица

С= должна быть размером , при этом матрица F имеет размер , и . (5.5)

Тогда определено и произведение , и матрица G имеет размер , и . (5.6)

Поэтому определена и матрица = , которая имеет размер , т.е. F и H – матрицы одного порядка и (5.7)

(5.5) (5.4) (5.3),(5.1) (5.3) (5.6) (5.7)

Итак, произведение матриц ассоциативно: .

5.4 Правая и Левая дистрибутивность умножения матриц относительно сложения

Пусть А= – матрица размерности ; В= – матрица размерности . Тогда А+В=D= – матрица размерами и . (5.8)

Чтобы произведение было определено, матрица С= должна быть размерности и = – матрица размера и . (5.9)

В этом случае определены и произведения= – матрица размерности и . (5.10)

= – матрица размера и . (5.11)

Из (5.10) и (5.11) следует, что матрицы F и H одного размера, и тогда определена матрица =, являющаяся матрицей размера и .

Тогда (5.10),(5.11)

, т.е. Q=G, или , т.е. справедлива левая дистрибутивность умножения матриц относительно сложения.

Равенство (правая дистрибутивность) будет показана в п. 5.5.

5.5 Транспонирование произведения

Справедлива следующая теорема: транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е. . (5.12)

Доказательство формулы (5.12):

Пусть – матрица размерами . Чтобы было определено, матрица должна быть размером , и их произведение является матрицей размером , и . (5.13)

Тогда – матрица размерами ;

– матрица размерами ;

Тогда определена матрица , являющаяся матрицей размером (т.е. число столбцов матрицы D равно числу строк матрицы С и равно числу столбцов матрицы , а число строк матрицы D равно числу столбцов матрицы С и равно числу строк матрицы , т.е. матрицы D и – одного размера), и . (5.14)

Тогда из (5.14) имеем: , для любых i и j, т.е. D=. Теорема доказана.

Докажем теперь правую дистрибутивность:

т.е. правая дистрибутивность доказана.