- •Введение
- •1.3 Первые 10 свойств определителя
- •2) При замене строк или столбцов местами определитель меняет знак:
- •4) Постоянный множитель элементов строки/столбца можно вынести за знак определителя:
- •§2. Миноры и дополнения
- •§3. Определитель n-го порядка
- •3.1 Метод математической индукции
- •3.2 Вычисление определителя n-го порядка по минорам и ад
- •3.3 Верхне треугольный определитель
- •Глава 2. Матрицы и системы линейных уравнений §4. Определение матрицы, равенство, операции над матрицами
- •4.1 Определение матрицы
- •4.2 Сложение матриц
- •§5. Произведение матриц
- •5.1 Свойства операции суммы
- •5.2 Определение произведения матриц и его некоммутативность
- •5.3 Ассоциативность произведения матриц
- •5.4 Правая и Левая дистрибутивность умножения матриц относительно сложения
- •5.5 Транспонирование произведения
- •5.6 Определитель произведения
- •5.7 Вырожденная и невырожденная квадратная матрица
- •5.8 Единичная матрица и её свойства
- •5.9.Определение обратной матрицы; отсутствие обратной матрицы у вырожденной
- •5.10 Теорема о существовании обратной матрицы и алгоритм её нахождения
- •§6. Системы линейных уравнений
- •6.1 Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность
- •6.2 Матричная форма записи m линейных уравнений с n неизвестными
- •§7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными их решение с помощью обратной матрицы
- •§8. Формула Крамера
- •§9. Элементарное преобразование матриц
- •9.1 Понятие элементарного преобразования
- •9.2 Эквивалентные матрицы и системы
- •9.3 Ступенчатые матрицы; сведение матрицы к ступенчатой
- •9.4 Диагональные матрицы
- •§10. (Метод Гаусса) Решение произвольной системы линейных уравнений
- •§11. Определение ранга матрицы
- •11.1 Понятие ранга матрицы
- •11.2 Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Глава 3. Векторная алгебра §14.Векторы, равенство векторов , коллиниарность и компланарность векторов, разность , умножение векторов. Свойства этих операций.
- •14.1 Сложение векторов
- •14.2 Умножение вектора на число
- •14.3 Свойства линейного пространства
- •2) Ассоциативность
- •§15. Линейно – зависимые векторы и их свойства
- •§17. Базис, координаты вектора, разложение вектора по базису
- •Эта система линейно независима;
- •Любой вектор можно выразить через , причём это выражение единственно.
- •§18. Линейное пространство и линейные операторы
- •Шаг индукции
- •Линейное подпространство
- •Линейный оператор
- •§19. Исследование систем линейных уравнений
- •19.1. Однородные системы
- •19.2 Решение неоднородных систем
- •19.3 Доказательство достаточности теоремы Кронеккер-Капелли
- •19.4 Доказательство критерия определённости системы
- •§20. Ортонормированный базис
- •§21. Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки. Определение координат вектора по координатам его начала и конца. Расстояние между двумя точками
- •§22. Деление отрезка в заданном отношении
- •25.2 Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность)
- •Доказательство Леммы 25.1:
- •27.3 Свойства смешанного произведения
- •27.4Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов
- •§28 Смешанное произведение векторов в координатной форме
5.6 Определитель произведения
Справедлива следующая (дающаяся без доказательства) теорема: определитель произведения матриц равен произведению определителей: det(AB)=detAdetB. (5.15)
5.7 Вырожденная и невырожденная квадратная матрица
Определение: квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.
5.8 Единичная матрица и её свойства
Определение: квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единицы, а остальные – нулю, т.е. матрица вида:
(5.16)
называется единичной матрицей.
Элементы единичной матрицы обозначаются символом Кронекера:
(5.17)
Справедлива теорема: будет: . (5.18)
Доказательство
Пусть: А= и . Покажем, что .
В самом деле, , т.е. В=А.
Для доказательства равенства используем очевидную формулу и равенство (5.12). Получим:
Покажем, всякая матрица со свойством для любой матрицы А (соответственно, и всякая матрица со свойством для любой матрицы А), должна совпадать с определенной в (5.16) матрицей Е. В самом деле, и , т.е. матрица, удовлетворяющая свойству (5.18), единственна и задаётся формулой (5.16)
5.9.Определение обратной матрицы; отсутствие обратной матрицы у вырожденной
Пусть А= – квадратная матрица.
Определение: матрица называется обратной к матрице А, если выполнено равенство . (5.19)
Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0, то из (5.19) и (5.15) имеем: (противоречие).
5.10 Теорема о существовании обратной матрицы и алгоритм её нахождения
Имеет место следующая теорема:
Всякая невырожденная матрица А= имеет обратную матрицу = =, элементы которой находят по формуле: (5.20)
, а – её алгебраические дополнения.
Доказательство теоремы:
Пусть . Тогда:
(5.20) (5.3)
(5.21)
Используем далее 11-е и 12-е свойства определителей (см. §2.2 и §2.3). Если i=j, то
, (5.22)
ибо последняя сумма является разложением определителя Δ по его i-й строке.
В случае будет (5.23)
(сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения другой j-й строки см. 12-е св-во), и тогда , если .
Сопоставляя (5.22) и (5.23), имеем: , т.е. В=Е, и теорема доказана.
Равенство читателю предлагается доказать самостоятельно (в этом случае определитель Δ в равенстве (5.22) будет разлагаться по j-му столбцу).
Отметим, что определенная формулой (5.20) обратная матрица единственна, ибо если и – такие матрицы, что , то , и
, т.е. ==.
Покажем также, что
(5.24)
В самом деле: , и (5.24) доказано.
Итак, мы показали справедливость следующих свойств произведений матриц:
-
;
-
и ;
-
;
-
det(AB)=detAdetB;
-
;
-
;
-
;
-
.
Свойства 1) ÷ 6) были доказаны ранее.
Свойство 7) очевидно, ибо если 0=В = с для любых l и j, то для произведения имеем:
для любых i и j, т.е. С=0.
Покажем свойство 8):
Пусть А =; В =.
Тогда произведение c . (5.25)
Также: с ; (5.26)
с (5.27)
и c . (5.28)
c ; (5.29)
c . (5.30)
Из равенства (5.30) имеем:
(5.27) (5.3) (5.25) (5.28)
,
(5.28) (5.25) (5.3) (5.26) (5.29)
и ,
т.е. P=G=H, или , и свойство 8) доказано.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Из формулы (5.20), чтобы найти обратную матрицу , нужно:
-
найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA0, то находим
-
матрицу из алгебраических дополнений;
-
транспонируем эту матрицу ;
-
всякий элемент матрицы делим на detA, получим матрицу .
Рассмотрим пример: Пусть . Найдем обратную матрицу :
-
detA = –20;
-
дополнения: ; ; ; и ;
-
;
-
.