Тема 5. Плоское движение твердого тела.
Пример 17. Колесо радиуса катится по прямолинейному горизонтальному рельсу с постоянной угловой скоростью (рис. 14). Записать уравнения плоского движения колеса, если центр колеса имеет постоянную скорость: .
Р
Рисунок 14
Ответ. ; ; .
Пример 18. Определить скорость точки обода колеса, используя условие примера 17.
Решение. Применим формулу (3). За полюс примем точку , скорость которой известна:
В
Рисунок 15
Пример
19. В
Рисунок 16
Решение. Найдем скорость точки :, .
Скорость ползуна должна быть направлена по прямой . Мгновенный центр шатуна находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к направлениям векторов скоростей точек и . Угловая скорость шатуна равна:
Определим величины , , . , , , . Тогда равносторонний: . Находим: , , .
Направление угловой скорости шатуна определяется по направлению вращения вектора скорости точки относительно мгновенного центра скоростей. Угловая скорость шатуна направлена по часовой стрелке. Скорости точек и должны показывать такое же направление. Для построения вектора восстанавливаем перпендикуляр к отрезку и направляем вектор в соответствии с направлением .
Ответ. , .
Пример 20. Колесо катится без скольжения по прямолинейному рельсу. Скорость центра колеса равна 20м/с, Радиус колеса 1м. Найти скорости точек , , и угловую скорость колеса (рис. 17).
Р
Рисунок 17
Угловая скорость направлена по часовой стрелке. Определим расстояние точек , , до МЦС:
, , , .
Вектор перпендикулярен прямой , а вектор перпендикулярен прямой . Вектор перпендикулярен . Направления векторов , , должны соответствовать угловой скорости колеса (рис. 17).
Ответ. , .
Пример 21. Используя условие примера 19, определить ускорение точек и (рис. 18).
Решение. За полюс выберем точку , так как ускорение этой точки можно найти:
Рисунок 18
так как кривошип вращается равномерно, . . Вектор направлен по от точки к точке .
Применим формулу , задавая направление вектора (рис. 18):
Находим и : , так как неизвестно, то зададим направление вектора , учитывая, что . .
Вектор направлен по от точки к полюсу . Запишем проекции на оси координат (X, У): Ось Х: Ось Y:
Находим и .
Минус показывает, что вектор направлен в сторону, противоположную направлению, выбранному на рис. 18. Определим угловое ускорение шатуна :
.
Направление будет по часовой стрелке. Определим ускорение точки , выбрав за полюс точку . Вектор разложим по выбранным осям координат:
.
Находим и : вектор , и направлен в соответствии с . Вектор и направлен по от точки к полюсу .
Проектируем выражение на оси координат:
, ,
.
Ответ. , .
Пример 22. Колесо радиуса катится без скольжения равнозамедленно по прямолинейному горизонтальному рельсу. Скорость центра колеса . Ускорение центра . Найти ускорение точки с помощью МЦУ и по теореме об ускорениях точек плоской фигуры.
Решение. Находим угловые скорость и ускорение колеса:
, .
У
Рисунок 19
I способ. Определим угол : , .
Повернем на угол 45° по направлению углового ускорения. Определим расстояние от точки до МЦУ (рис. 19): .. Находим расстояние точки до МЦУ из : .
В точке от отрезка отложим вектор ускорения точки в направлении, противоположном угловому ускорению. Величина ускорения точки равна:
.
Ответ. .