f (x) 0.4
0.3
0.2
0.1
−3 −2 −1 |
1 2 3 x |
Рис. 4. Плотность нормального распределения.
Пример 6. Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере. Непрерывная случайная величина задана плотностью
f (x) = |
1 |
e− |
( x−4)2 |
|
18 |
|
|||
распределения: |
3 2π |
|
. |
|
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Решение. Сравнивая заданную плотность распределения с (1.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m=4. Следовательно, математическое ожидание
M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение σ=3.
Функция нормального распределения (1.17) связана с функцией Лапласа, имеющей вид:
Ф(x) = |
1 |
∫x |
e−t 2 2 dt |
|
2π |
0 |
, cоотношением: F0(x) = Ф(х) + 0,5. Для функции Лапласа справедливо |
соотношение: Φ(−x) = −Φ(x). (Функции Лапласа нечётная). Значения функций f(x) и Ф(х) можно вычислить с помощью таблицы .
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
3.4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (1.9а). Подставив в формулу (1.9а) значение плотности распределения из (1.16) для нормального распределения N(a, σ) и сделав ряд преобразований, вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу [x1, x2], будет равна:
P{x1 ≤ X ≤ x2} = Φ( x2σ−а)
где: а – математическое ожидание.
−Φ( |
x1 −а |
) |
(1.18) |
|
|||
|
σ |
, |
|
Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание a=60, среднеквадратическое отклонение σ =20. Найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30;90).
28
Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (1.18).
Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).
По таблице Приложения 1: Ф(1,5) = 0,4332.. P(30 < X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна: P(30 < X < 90) = 0,8664.
3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной ε.
Пусть ε - отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания не превысит заданного значения ε. Данная вероятность записывается в виде: P(|X–a| ≤ ε). Предполагается, что в формуле (1.18) отрезок [х1; х2] симметричен относительно математического ожидания а. Таким образом: a–х1=ε; х2 –a =ε. Если эти выражения сложить, можно записать: х2 – х1=2ε. Границы интервала [х1; х2] будут иметь вид:
х1=а –ε; х2=а + ε. |
(1.19) |
В правую часть (1.18) подставляются значения х1, х2 из (1.19), а выражение в фигурных скобках переписывается в виде двух неравенств:
1)х1 ≤ X и заменяется в нём х1 согласно (1.19), получится: а–ε ≤ X или а–X ≤ ε.
2)X ≤ х2 , аналогично заменяется х2, получится: X ≤ а+ε или X–a ≤ ε.
Тогда (1.18) можно переписать в виде: |
|
P (|X–a| ≤ ε) = 2Ф(ε/σ) = 2Ф(t), |
(1.20) |
где: t = ε/σ. |
|
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае
N(a, σ):
Φ( |
x |
−а |
) |
(1.21) |
|
|
|||
F(x) = |
σ |
+ 0,5. |
||
Пример 8. Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическим отклонение σ=1 мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2 мм.
Решение. Дано: ε=2, σ=1мм, а=0.
По формуле (5.20): P ( |X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε/σ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).
По таблице Приложения 1 можно найти: |
Ф (2,0)=0,4772. |
Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1мм равна:
P (|X| ≤ ε) = 2 0,4772 = 0,9544.
Пример 9. Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и σ=15. Найти вероятность того, что отклонение случайной величина от своего математического ожидания – а будет меньше 5 ,т.е. P(|X–a| <5).
Решение. С учетом (1.18) будем иметь: P(|X– a| < ε)=2Ф(ε/σ);
29