Определение 2: Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком следования.

Пример. Группу из 20 студентов можно разместить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения имеет значения.

Решение. Количество возможных вариантов размещений вычисляется по формуле (1.2):

А202= 20 19 = 380.

1.3. Сочетания

Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми.

Определение 3: Сочетанием называют комбинации, составленные из n – различных элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов и не зависят от порядка следования.

Сочетания используются, если важен только состав элементов в выборке.

Пример. Группу из 20 студентов можно рассадить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения не имеет значения. Количество возможных вариантов сочетаний вычисляется по формуле (1.3):

С202= 20 19/2=190.

Глава 2. Случайные события

Введение

В математике существует наука, которая изучает объекты, связанные с понятиями случайности и вероятности. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление (событие) – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько поиному.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские ученые: П.Л.Чебышев и его ученики: А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Среди советских математиков следует отметить С.Н.Бернштейна, В.И.Романовского, Н.В.Смирнова и др. Аксиоматический подход к вероятности окончательно сформулировал советский математик академик А.Н. Колмогоров в своей статье «Об основных понятиях теории вероятностей». Аксиоматика А.Н. Колмогорова составляет фундаментальную основу теории вероятностей. Теорию вероятностей применяют при оценках ошибок наблюдений, измерений, в демографии, в теории стрельбы и т.д. Вероятностный подход в решении многих задач (социологических, экономических, технологических и других) в настоящее время является актуальным.

2.1. Виды случайных событий

13

Различают следующие виды случайных событий: достоверные, невозможные и случайные. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,..., невозможное – , достоверное – Ω.

Достоверное событие всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания.

Примеры: если в урне все шары белые, то достать белый шар является достоверным событием, а достать черный шар является невозможным событием.

Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания может произойти, а может и не произойти.

Пример. Брошена монета. Выпал герб. Это событие случайное, так как могла выпасть другая сторона монеты.

Кроме того, события могут быть совместными и несовместными, зависимыми или независимыми. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Случайные события А и В называется несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает появление другого события. Примеры совместных событий: светит солнце и идёт дождь, число целое и чётное. Несовместные события: день и ночь, число иррациональное и чётное.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произошло событие В или нет. Событие А называется зависимыми от события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло или не произошло событие В. Примеры: два студента одновременно сдают экзамен независимо друг от друга, работник получит оплату труда в зависимости от качества её выполнения.

Равновозможные события – это такие события, которые имеют одинаковые возможности для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных событий при данном испытании.

Противоположные события. Два случайные события А и В называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Примеры: студент может сдать или не сдать экзамен, день и ночь.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных событий.

Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например, испытание – подбрасывание кубика. Элементарное событие – выпадение грани с числом «4». Сложное событие – выпадение грани с нечётным числом.

2.2. Алгебра случайных событий

Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозначается: Ω. Соответственно, пространство элементарных исходов рассматривается как универсальное множество по отношению к случайным событиям. Любое случайное событие А состоит из одного и более элементарных исходов. Если элементарный исход обозначить через ω, тогда случайное событие А можно рассматривать как подмножество пространства Ω:

А={ω Ω | ω A}.

Достоверному событию соответствует всё пространство Ω. Невозможное событие описывается пустым множеством .

14

Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой (объединением) событий А и В и обозначается: А+В или А В. Сумму событий можно рассматривать как объединение соответствующих множеств. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель это событие, состоящее из суммы событий: попал первый или второй или оба стрелка.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий: А и В, называется произведением (пересечением) событий А и В и обозначается: А В или А ∩ В. Произведение событий можно рассматривать как пересечение соответствующих множеств. Для совместных событий А ∩ В ≠. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков это событие, состоящее из совместного появления событий: попал первый и второй стрелок.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается: А \ В или А–В.

Событие, обозначаемое через A , называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит. Пример. Стрелок попал в

цель это событие А. Стрелок не попал в цель это событие A .

Событие А происходит при условии, что событие В уже произошло, т.е. событие В включено в событие А и обозначается: В А. Пример. Абитуриентов зачисляют в ВУЗ сразу (это событие А ) при условии, что они сдали все вступительные экзамены на «отлично» (это событие В).

Если А В и В А, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными (записывают А В).

Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае А∩В= . Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков это событие А.

Промахнулись оба стрелка это событие В. События А и В в данном примере несовместны. События А1, А2 ,..., Аk образуют полную группу событий, если:

А1 А2 ... Аk = Ω;

Пример. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Элементарными событиями или исходами называют события, удовлетворяющие трем условиям:

1)они попарно несовместны;

2)образуют полную группу;

3)равновозможны.

2.3.Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Одно из основных – это классическое определение. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий, т.е. элементарных исходов.

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:

15