А = {1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}. Тогда А \ В = {1, 2}, В \ А= {5, 6}.

Разность множеств А и В графически можно представить рис. 3:

Рис. 3.

Если рассматриваемое множество В является подмножеством некоторого фиксированного множества А, то разность А\В называется дополнением множества В или дополнением до А множества В.

Определение 11: Разбиением множества Х называется такая расчлененная система U непустых подмножеств множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом некоторого множества системы U. Пример. Множество U={{1,2},{3,4},{5,6},{7,8}} есть результат операции разбиения множества X={1,2,3,4,5,6,7,8}. Данная операция позволяет образовать новое множество U из одного существующего множества X. Можно выделить такое множество, что все рассматриваемые предметы являются его элементами. Такое множество называется универсальным. Обычно универсальное множество обозначается U.

Дополнением множества А называется множество A ,состоящее из элементов множества U, не являющихся элементами множества А: A ={x U| x A}.

На диаграмме Эйлера - Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U:

Множества, входящие в универсальное множество, обозначают в виде кругов внутри прямоугольника (рис. 4).

U

A B C

Рис. 4.

Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А. Обозначается: A = U \ A .

2.5. Алгебраические свойства операций над множествами

После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций сложения и умножения чисел. Свойства записываются в виде тождеств и не зависят от того, каково универсальное множество U и какие именно конкретные его подмножества в них фигурируют. Далее формулируются основные свойства объединения и пересечения.

Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы следующие тождества:

1. Коммутативность для объединения для пересечения

1а) A B = B A; 1б) A ∩ B = B ∩ A; 2.Ассоциативность

2а) A (B C) = (A C) C; 2б) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; 3. Дистрибутивность

3а) A (B∩C) = (A B) ∩ (A C); 3б) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C); 4. Операции с пустым и универсальным множествами

9

Каждое из этих тождеств можно доказать, показав, что множество, стоящее по одну сторону тождества включено во множество, стоящее по другую сторону. Если

а) операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел; б) операции пересечения ∩ поставить в соответствие операцию умножения чисел;

в) универсальному множеству U поставить в соответствие единицу 1;

г) пустому множеству поставить в соответствие нуль; то возникает аналогия между множествами и числами. Закон ассоциативности для множеств аналогичен сочетательному закону для чисел:

а) a+(b+c)= (a+b)+c; б) a (b c)= (a b) c.

Закон коммутативности для множеств аналогичен переместительному закону для чисел:

а) a+b=b+а; б) a b=b а.

Закон дистрибутивности 3б) для множеств аналогичен распределительному закону для чисел: a (b +c)=a b+a c.

Закон дистрибутивности 3а) для множеств нарушается для чисел. Десять свойств, сформулированных в этом разделе, являются фундаментальными в том смысле, что все остальные свойства операций над множествами непосредственно следуют из них.

2.6.Отношения на множестве. Бинарные отношения

Вматематике часто используется для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термин отношение. Примеры отношений: отношение равенства между двумя или несколькими числами, фигурами, множествами.

Если рассматривают отношения между числами, то это больше, меньше, равно. Например: x>y; z<r;а=с; x A. Из этих примеров видно, что отношение используется для двух объектов, записанных в определенном порядке. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике вводят понятие упорядоченных наборов элементов. Двухэлементное множество {x,y}, в котором элемент х стоит на первом месте, а y на втором называется упорядоченной парой.

Элемент x называют первой координатой упорядоченной пары, а элемент y – второй. Две упорядоченные пары равны, если их координаты совпадают. Если сравнить два множества {7,8}; {8,7}, то можно отметить, что они равны, так как они состоят из одинаковых элементов. Если сравнить две упорядоченные пары {7,8}; {8,7}, то следует отметить, что они не равны, так как их координаты не совпадают. В этом основное отличие упорядоченной пары от двухэлементного множества. Если две упорядоченные пары равны, то они находятся в отношении равенства. Чтобы определить отношение, достаточно перечислить все пары, которые находятся в данном отношении.

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть заданы множества X,Y. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар {x,y}, где x X,y Y. Множество упорядоченных пар {x,y} таких, что x X,y Y, называется декартовым произведением. Аналогично можно конструировать новые множества, используя вместо пар {x,y} набор из n элементов {а,x,y,..}. Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Определение 12: Декартовым произведением множеств X и Y называется множество всех пар (x, y), первая компонента которых x X, вторая компонента y Y. Декартово произведение множеств X и Y обозначают X × Y и его можно записать:

X × Y = {(x; y) | x X ; y Y }.

10

Аналогично можно конструировать новые множества, используя вместо пар (x, y) наборы из n элементов {а, x, y,..}. Упорядоченные наборы, состоящие из n элементов (n-ки) называют кортежами. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (с, т, у, д, е, н, т) – это кортеж длины 7. Тогда, декартово произведение n множеств есть множество кортежей, построенных из n элементов этих множеств.

В упорядоченных парах компоненты могут находиться в какой-то связи, т.е. отношении. Если рассматривают отношения между объектами, то это: «больше», «меньше», «равно».

Например: x > y; z < r; а = с; x A.

Из этих примеров видно, что отношение используется для двух объектов, записанных в определенном порядке. Если две упорядоченные пары равны, то они находятся в отношении равенства. Чтобы определить отношение, достаточно перечислить все пары, которые находятся в данном отношении.

Если рассматривают отношения между тремя элементами, то их называют тернарными, отношения между n-элементами – n-арными. Примером тернарного отношения может служить отношение между точками прямой: точка х лежит между двумя точками прямой (z, y). Если рассматривать некоторую точку, удовлетворяющую или нет данному отношению (например, принадлежности прямой), то данное отношение будет унарным. В математике чаще всего встречаются бинарные отношения – множество пар, т.е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств: А1×А2 .

Примеры бинарных отношений:

1)Бинарное отношение старшинства между двумя людьми по возрасту или воинскому званию.

2)Бинарное отношение между целыми числами – «иметь одинаковые остатки от деления на

3».

Бинарное отношение используется в связи с парами объектов, рассмотренных в определенном порядке. Оно касается существования определенного типа связи между некоторыми парами. Множество {(2,4), (7,3), (3,3), (2,1)} будучи множеством упорядоченных пар, есть бинарное отношение. Однако между парами отсутствует связь. Если установить связь: x<y, то множество можно записать для примера в виде {(2,3),(4,7),(5,8),(8,17)}.

Иначе можно записать бинарные отношения, если между ними установить функциональную зависимость. Пример.

1)y= x+2, то множество можно записать для примера в виде {(2,4),(4,6),(6,8),(8,10)}.

2){(х, x 3 )}. 3) {(х, cos x)}.

Таким образом можно конструировать новые множества.

Отношение – понятие очень широкое. Поскольку отношения являются множествами, то к ним применимы все теоретико-множественные операции: объединение, пересечение, дополнение и др.

2.7. Алгебраические операции с множествами

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Математика рассматривает не только объекты, но и главным образом связи между ними. Современная алгебра рассматривает общие понятия: понятия соответствия, отношения, алгебраических операций и другие.

Алгебраические операции. Для чисел: умножение, деление сложение, вычитание. Для множеств: пересечение, объединение, вычитание. Появилось общее понятие алгебраической операции. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств.

Пример. Дано три множества.

11