Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение σ = 1.

Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.

Пример 3. Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 4.

Таблица 4

Решение. Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (4):

М(Х)= –5 0,4 + 2 0,3 + 3 0,1 + 4 0,2 = -0,3.

Дисперсия вычисляется по формуле (1.6): D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2. Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице 5.

Таблица 5

Математическое ожидание Х2:

М(Х2) = 25 0,4 + 4 0,3 + 9 0,1 + 16 0,2 = 15,3.

Искомая дисперсия:

D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.

Тогда среднее квадратическое отклонение будет: σ(X ) = D(Х) = 15,21 =3,9 .

Глава 3. Непрерывная случайная величина

3.1. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал (a,b) и составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной. В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания любых типов случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей случайной величины. Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид:

где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:

Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения, плотность вероятности f(х). называют дифференциальным законом распределения.

Свойства функции распределения F(х):

Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]: 0 ≤ F(х) ≤ 1.

24

Свойство 2. F(х) – неубывающая функция: F ( х1 ) ≤ F( х2 ), если х1< х2.

Свойство 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a, b] равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р (а ≤ Х < в) = F( в ) – F( а)

Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале [a, b], то вероятность попадания в заданный интервал

3.3. Некоторые частные распределения непрерывной случайной величины

На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.

25

Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Пример 4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X равномерно распределенной на интервале [2; 6].

Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [a,b], при этом случайная величина X – абсцисса точки.

Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [a,b] определяется по формуле (1.9).

Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.

26

Пример 5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения

1

f(x)= (b −a) ,

где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.

Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей

f (x) = 1 = 5

равна: 0,2 .

Тогда ошибка отсчета превысит значение 0, 04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (1.9):

P(a < X < b) = ∫0,2 5dx =5x /00,,042 =1−0,2 = 0,8

0,04 .

Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:

На рис.3 представлен график функции р(х) случайной величины, равномерно распределенной на промежутке [a;b].

Рис. 3. График функции р(х) случайной величины, равномерно распределенной на промежутке [a;b]

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина - ξ имеет нормальное распределение с параметрами: m, σ >0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:

где: m – математическое ожидание, σ - среднеквадратическое отклонение.

Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса. Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,

σ , обозначают так: N (m,σ), где m = а = M [ X ], σ = + D[ X ].

Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а. Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:

График плотности изображен на рис. 4.

27