8.4. Средние показатели в рядах динамики и методы их исчисления

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность m меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Для обобщения данных по рядам динамики рассчитываются: средний уровень ряда; средний абсолютный прирост; средний темп роста и прироста.

Для разных видов рядов динамики средний уровень рассчитывается неодинаково.

Для интервальных равноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле простой средней арифметической.

(84)

Для интервальных неравноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле взвешенной средней арифметической.

(85)

где у_i- уровень ряда динамики;

n - число уровней;

t_i- длительность интервала времени между уровнями.

Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической простой:

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяются по формуле средней хронологической взвешенной:

(86)

где y_i, y_n- уровни рядов динамики;

t_i- длительность интервала времени между уровнями.

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Для его определения можно воспользоваться формулой средней арифметической простой:

(87)

или

(88)

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста, показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда.

Необходимость исчисления среднего темпа роста возникает вследствие того, что темпы роста из года в год колеблются. Кроме того, средний темп роста часто нужно определять в тех случаях, когда имеются данные об уровне в начале какого-либо периода и в конце его, а промежуточные данные отсутствуют.

Средний темп (коэффициент) роста рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

Поскольку всякий темп роста является отношением уровней ряда динамики, так, что в формуле средней геометрической темпы роста заменяются соответствующим отношением уровней. Заменив темпы роста выражающими их отношениями и учитывая, что эти величины перемножаются, найдем подкоренное выражение как:

Следовательно, средний темп роста может быть выражен формулой:

Когда приходится вести расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (разноотстоящие ряды динамики), то пользуются средними геометрическими, взвешенными по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

(89)

где t - интервал времени, в течении которого сохраняется данный темп роста;

- сумма отрезков времени периода.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо вначале найти средний темп роста, а затем уменьшить его на единицу или 100%:

8.5. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Например, за колебаниями урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры в отдельные годы тенденция роста (уменьшения) урожайности может не просматриваться непосредственно, и поэтому должна быть выявлена статистическими методами.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

Сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней.

Выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. В этом случае для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, который основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом помесячного выпуска продукции и т.д.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы "скользят" по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один и уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средней уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Пример.

Покажем расчет скользящей средней за 3 и 4 месяца по данным о товарных запасах торгового объединения (табл. 47).

Таблица 47

Месяцы	Товарные запасы, тыс. шт.	Трех-членные скользящие суммы	Трех-членные скользящие средние	Четырех-членные скользящие суммы	Трех-членные скользящие средние нецентри-рованные	Трех-членные скользящие средние центри-рованные
А	1	2	3	4	5	6
январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь	13 15 11 16 18 14 19 18 20 19 21 23	- - 39 42 45 48 51 51 57 57 60 63	- 13 14 15 16 17 17 19 19 20 21 -	- - - 55 60 59 67 69 71 76 78 83	- 13,8 15,0 14,8 16,8 17,3 17,8 19,0 19,5 20,8 -	- - 14,4 14,9 15,8 17,0 17,5 18,4 19,3 20,1 - -

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени - y = f(t).

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

• полином первой степени

• полином второй степени

• полином третьей степени

• полином n-ой степени

Здесь а₀; а₁; а₂; … а_n- параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр а₀трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры а₁, а₂, а₃- как изменение ускорения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов. Суть данного метода изложена в теме 7.

Согласно этому методу, для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

где n - число членов в ряду динамики, t = 1, 2, …, n

Система, состоящая из "р" уравнений, содержит в качестве известных величин , то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 1, 2, …, р и неизвестных величин a_j. Решение этой системы относительно a₀, a₁, ..., a_pи дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а₀, а₁, а₂. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямойпримет вид:

для параболы второго порядка (y_t= a₀+ a₁t + a₂t₂):

Решение системы относительно искомых параметров а₀и а₁дает:

В статической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, …, n, то после переноса t = … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …, если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное, то t = …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … Следовательно, t и всеtp у которых "р" - нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащиеt с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

для параболы второго порядка:

Решая системы относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр а₁выражает начальную скорость роста, а коэффициент а₂- постоянную скорость изменения прироста.

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (y_t= a · b_t) для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

Если , то параметры уравнения lg a₀и lg a₁находим по формулам:

Пример.

Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики поголовья коров в хозяйстве за 2000-2009 гг. по следующим данным (см. табл. 48).

Таблица 48

Объем продаж (млн. руб.)

Годы	y	t	t2	yt
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	36,3 38,0 38,3 38,8 40,1 41,2 41,6 41,2 40,5 41,0	-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9	81 49 25 9 1 1 9 25 49 81	-326,7 -266,0 -191,5 -116,4 -40,1 41,2 124,8 206,0 283,5 369,0	37,45 37,95 38,45 38,95 39,45 39,95 40,45 40,95 41,45 41,95
Итого	397,0	-	330	83,7	397,0

Проиллюстрируем выравнивание по прямой. Из данных таблицы 48. находим

Отсюда .

Уравнение прямой будет иметь вид: . По уравнению найдем расчетные значения выровненных рядов динамики.

Полученное уравнение показывает, что объем продаж растет в среднем на 0,25 млн. руб. в год. Таким образом, величина параметра а₁в уравнении прямой показывает среднюю величину абсолютного прироста выровненного ряда динамики.

Сумма уровней эмпирического ряда () полностью совпало с суммой расчетных значений выровненного ряда ().

Результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики коров за 2000 - 2009 гг. и фактические данные отражены на рисунке 27.

Рис. 27. Динамика объема продаж торговой компании за 2000-2009 гг.

2000

2008

2009

2005

2006

2007

2004

2003

2002

2001