Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом

(рис. 3.4):

Если движение по окружности равномерное, то его можно характеризовать периодом вращения T – временем, за которое материальная точка совершает один полный оборот, то есть поворачивается на угол 2π . Так как промежутку времени ∆t =T соответствует угол ∆ϕ = 2π , то ω = 2πT ,

откуда T = 2πω .

Частота вращения n – число полных оборотов, совершаемых точкой при равномерном ее движении по окружности, в единицу времени: n =1 T =ω (2π) , откуда ω = 2πn .

Лабораторная работа № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Цель работы

Изучение законов кинематики поступательного и вращательного движения твердого тела и определение на этой основе скорости полета пули.

Содержание работы

Рассмотрим метод вращающихся дисков для определения скорости полета пули. Лабораторная установка состоит из двух тонких бумажных дисков 1 и 2, закрепленных на общей оси на некотором расстоянии друг от друга. Ось приводится во вращение электродвигателем.

При выстреле по неподвижным дискам (рис. 3.5) пробоины А0 и A1 лежат одна против другой. При выстреле по вращающимся дискам линия ОА2 пробоины А2 будет смещена относительно линии ОА0 на некоторый угол ϕ :

где ω – угловая скорость вращения дисков.

Движение пули вне ствола является неравномерным, так как на нее действует сила сопротивления среды и сила тяжести. Скорость пули vn

изменяется по модулю и направлению. Если выбрать расстояние S , прой-

31

денное пулей, не очень большим, то изменение скорости vn на протяжении

S становится пренебрежимо малым и движение пули можно считать равномерным. Тогда скорость полета пули может быть найдена из условия, что время t, за которое пуля пролетает расстояние S между дисками

n – частота вращения дисков.

Подставив значения φ и ω в формулу (3.13), получим окончательное выражение для скорости пули:

Частота вращения дисков n находится стробоскопическим методом. В основу этого метода положено освещение стробоскопического диска отдельными короткими вспышками, следующими через равные промежутки времени. Стробоскопический диск 3 (рис. 3.5) представляет собой белый круг с нанесенной на него черной точкой, закрепленный на свободном конце вала электродвигателя.

Если частота оборотов стробоскопического диска равна частоте вспышек импульсной лампы, то на стробоскопическом диске видно неподвижное изображение точки. Та же самая картина будет наблюдаться и в том случае, когда число оборотов диска в целое число k раз будет больше частоты вспышек импульсной лампы. Определив частоту вспышек импульсной лампы, и по шкале стробоскопа, и кратность повторения k, можно найти частоту вращения стробоскопического диска в единицу времени:

n =ν k. (3.15)

Экспериментально это делается так: подбирается частота вспышек импульсной лампы ν1 такая, чтобы на стробоскопическом диске была вид-

на одна неподвижная точка. Тогда искомая частота вращения равна ν1k .

После этого изменением частоты стробоскопа находится ближайшая (меньшая) частота вспышек импульсной лампы ν2 , при которой снова на-

блюдается неподвижное изображение одной точки стробоскопического

32

диска. Рассуждая аналогично изложенному выше, искомую частоту вращения можно записать как ν2 (k +1) .

Приравнивая ν1k =ν2 (k +1), можно найти k =ν2 /(ν1 −ν2 ). Подставив k в формулу (3.15), получим

где ν1 и ν2 соответствуют двум соседним показателям частоты импульсной

лампы, при которых получаются неподвижные изображения одной точки стробоскопического диска. Частоту вращения n следует брать всегда со знаком "+".

Описание лабораторной установки

Измерения производятся на установке, принципиальная схема которой приведена на рис 3.5.

Рис. 3.5

Установка состоит из двух бумажных дисков 1 и 2, насаженных на металлический вал так, чтобы плоскости дисков были взаимно параллельны и находились на расстоянии S друг от друга. Диски приводятся во вращение электродвигателем 4, расположенным на одной оси с валом. Для измерения скорости вращения дисков используется стробоскопический тахометр (стробоскоп). Он состоит из мультивибратора с изменяемой частотой, блока питания и стробоскопной (импульсной) лампы. Частоту вспышек импульсной лампы можно изменять в широком интервале.

В работе используется пневматическое ружье, ось ствола которого расположена параллельно оси вращения вала и смещена относительно нее на расстояние r.

ВНИМАНИЕ!!! Во избежание порезов ни в коем случае не касайтесь вращающихся дисков.

Порядок выполнения работы и обработки результатов измерений

1.Ознакомьтесь с установкой и порядком ее включения.

33

2.Тумблер "сеть" строботахометра поставьте в положение “Вкл.” и дайте прогреться прибору в течение 2–3 мин.

3.Тумблер "лампа" поставьте в положение "Вкл." Лампа начнет мигать с частотой, указанной на одной из трех шкал визирной линейки стробоскопа. На какой из трех шкал следует искать частоту вспышек, можно определить по соответствию цвета точки в начале и цвета кружочка с цифрой, на которую указывает переключатель диапазона. Если цифра не равна 1, то полученное по шкале значение частоты следует умножить на эту цифру, а также на коэффициент, указанный в начале шкалы.

4.Ориентировочно выставьте частоту вспышек лампы около 3000 мин–1.

5.В присутствии лаборанта или преподавателя включите электромотор.

6.Плавно изменяя частоту вспышек, найдите такое ее значение ν1 , когда точка на вращающемся стробоскопическом диске будет неподвижной. Запишите частоту ν1 .

7.Уменьшите частоту вспышек скачком в два раза; для этого достаточно повернуть переключатель диапазонов на один шаг против часовой стрелки. Плавной подстройкой снова добейтесь, чтобы точка на стробоскопическом диске была неподвижной. Запишите частоту ν2 .

8.Выключите электромотор.

9.Выключите на строботахометре тумблеры "лампа" и "сеть".

10.Установите расстояние S между бумажными дисками 150 мм.

11.Просмотрите диски и пометьте на них все пробоины от предыдущих выстрелов.

12.Зарядите ружье.

13.Включите электромотор и произведите выстрел.

14.Выключите электромотор.

15.Через отверстие от пули А0 в диске 1 вставьте в ствол ружья шомпол.

16.Пододвинув диск 2 к диску 1, заостренным концом шомпола сделайте пробоину A1 на диске 2. Выньте шомпол.

17.При помощи миллиметровой линейки измерьте расстояние между центрами двух пробоин на диске 2, что соответствует хорде A1A2.

18.Измерьте при помощи миллиметровой линейки расстояние х от центра

пробоины А1 до окружности вала и диаметр вала d с помощью штангенциркуля. Расстояние r от центра пробоины до оси вращения будет равно: r = х + d/2.

19. Повторите измерения при S = 150 мм и проведите два опыта при

S = 300 мм.

20.Результаты измерений занесите в таблицы 3.1 и 3.2.

21.По формуле (3.16) определите частоту вращения дисков n.

22.Вычислите по формуле (3.14) скорость пули для каждого опыта.

23.Определите среднее значение скорости пули < v >.

34

Таблица 3.1

Таблица 3.2

S, м l, м x, м r, м v, м/с

Контрольные вопросы

1.Чем определяется точность эксперимента в методе вращающихся дисков?

2.Как зависит точность результатов oт скорости пули, от скорости вращения дисков, от толщины бумаги, от расстояния между дисками? Укажите способы экспериментальной проверки влияния всех этих факторов.

3.Что называется траекторией, длиной пути и перемещением материальной точки при ее движении?

4.Что называется скоростью движения материальной точки? Как направлен вектор скорости?

5.Как, зная значение скорости в каждый момент времени, вычислить путь, проходимый материальной точкой с момента времени t до момента t+∆t?

6.Что называется угловой скоростью вращения тела? Как направлен вектор угловой скорости? Единицы измерения угловой скорости?

7.Как связаны между собой угловая скорость, период и частота при равномерном вращении тела?

8.Какова связь между векторами угловой и линейной скоростей точек, движущихся по окружности?

9.Как в данной работе определяется скорость полета пули?

35

Глава 4. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела

Динамика изучает законы движения физических тел и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Изменение движения тел или изменение их формы происходит в результате взаимодействия по меньшей мере двух тел.

В основе динамики лежат три фундаментальных закона Ньютона.

Первый закон Ньютона (закон инерции): всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными, в которых он не выполняется – неинерциальны-

ми.

Инерция (инертность) – свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Масса – скалярная физическая величина, являющаяся количественной характеристикой (мерой) инертности твердого тела (материальной точки) при поступательном движении. Следует отметить, что покоящееся тело также обладает массой.

Взаимодействие тел приводит к появлению ускорений. Количественной мерой такого взаимодействия является сила.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей. Сила полностью задана, если указаны ее численное значение

(модуль), направление и точка приложения.

Импульс силы – векторная физическая величина, равная произведению вектора силы на интервал времени ее действия.

Импульс тела (ранее применялся термин количество движения) –

векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики поступательного движения твердого тела): скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе.

В выражении (4.1а) dt – бесконечно малый промежуток времени, позволяющий считать все силы, действующие на тело, постоянными.

Существует и другая формулировка второго закона Ньютона: произ-

ведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе.

36

Под силой F , стоящей в правых частях выражений (4.1а) и (4.1б) понимается равнодействующая всех сил, действующих на тело (то есть геометрическая сумма всех сил, действующих на тело).

Величина m носит название инерционной массы тела. Ускорение, приобретаемое телом, обратно пропорционально массе тела. Таким образом, масса является мерой противодействия тела изменению его скорости под действием приложенной силы.

Массу можно определить и через гравитационное взаимодействие

двух тел, на основании закона всемирного тяготения, установленного также Ньютоном. Определенная таким образом масса тела носит название гравитационной массы. В настоящее время можно считать доказанным,

что инерционная и гравитационная массы равны друг другу с точностью, не меньшей, чем 10–12 от их значений.

Третий закон Ньютона устанавливает, что всякое действие материальных тел друг на друга носит характер взаимодействия: силы, с которы-

ми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела.

Три закона Ньютона образуют завершенную систему постулатов динамики

– первый закон описывает поведение свободного тела (не подверженного действию со стороны других тел), второй закон устанавливает поведение тела под действием внешних сил, третий – указывает на обоюдный характер взаимодействия тел.

4.2. Динамика вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела: скорость изменения момента импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту M относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

Вектор Li направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через вектора ri и pi , и образует с ними правую тройку векторов (если смотреть из конца в начало вектора Li , то на плоскости, перпендикулярной данному вектору происходит поворот по кратчайшему расстоянию вектора ri к вектору pi против часовой стрелки (рис. 4.1)).

Моментом импульса любой системы частиц, в частности твердого тела, относительно точки, называется геометрическая сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему:

согласно которому производная по времени момента импульса системы частиц относительно направления z равна сумме моментов внешних сил относительно этого же направления (за направление z часто принимают направление оси вращения).

Установлено, что

где J = ∑mi ri2 – сумма произведений масс материальных точек на квадра-

ты расстояний их до оси вращения (это величина называется моментом инерции системы частиц относительно этой оси); ωi – проекция угловой

скорости на эту же ось. С учетом (4.9) перепишем (4.8) в виде

38

Важным частным случаем является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае величина момента инерции J при вращении остается постоянной и уравнение (4.10) принимает вид

где εz – проекция углового ускорения на ось вращения.

Уравнение (4.11) показывает, что проекция на неподвижную ось вращения углового ускорения твердого тела прямо пропорциональна результирующему моменту сил относительно той же оси.

Уравнение (4.11) по своему содержанию аналогично второму закону Ньютона maz = Fz , поэтому его называют основным законом динамики те-

ла, вращающегося вокруг неподвижной оси. Как видно, при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль ускорения играет угловое ускорение, а роль массы – момент инерции.

N

Величина J = ∑mi Ri2 – называется моментом инерции твердого тела

i=1

относительно оси. Физический смысл момента инерции твердого тела относительно оси заключается в том, что он является мерой инертности твердого тела при его вращении вокруг данной оси и характеризует распределение масс тела относительно этой же оси.

Момент инерции является аддитивной величиной. Точно вычислить момент инерции можно, представив его как предел суммы бесконечно большого числа произведений малых элементов массы dm = ρdV на квадрат их расстояний до оси

J = ∫R2dm = ∫ρR2dV .

m V

Моменты инерции относительно различных осей тела необходимо знать при решении многих научных и технических проблем, например, при исследовании вращательного движения тела или его устойчивости, изучении показаний измерительного прибора, определении степени износа механизмов, при контроле правильности распределения или укладки объектов.

Вычисления можно упростить, если использовать тот факт, что мо-

мент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен алгебраической сумме моментов инерций относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости

фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью, то есть Jz = Jx + Jy .

Кроме этого, вычисление момента инерции тела сильно упрощается при использовании теоремы Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Jc относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произве-

39

дения массы тела m на квадрат расстояния a между осями, то есть

J = Jc +ma2 .

Таким образом, теорема Штейнера сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Доказательство. Рассмотрим ось С, проходящую через центр масс тела, и параллельную ей ось О, отстоящую от оси С на расстояние а (рис. 4.3: обе оси перпендикулярны к плоскости чертежа).

О; a – перпендикулярный к осям вектор, соединяющий соответствующие точки осей O и С. Для любой пары противолежащих точек этот вектор имеет одинаковую величину, равную расстоянию а между осями, и одинаковое направление. Между введенными векторами имеется соотношение

Ri′ = a + Ri .

Квадрат расстояния элементарной массы ∆mi от оси С равен Ri2 = Ri 2 , а от оси О: Ri2′ = (a + Ri )2 = a2 + 2aRi + Ri2 . С учетом последнего

соотношения момент инерции тела относительно оси О можно представить в виде

(здесь постоянные множители вынесены за знак суммы). Последнее слагаемое в этом выражении представляет собой момент инерции тела относительно оси С (Jc), сумма элементарных масс дает массу тела т, сумма

∑∆mi Ri равна произведению массы тела m на вектор R , проведенный от оси С к центру масс тела. Поскольку центр инерции лежит на оси С, этот вектор R , а следовательно, и второе слагаемое в (4.12) равны нулю. Таким образом, J = Jc +ma2 , что и требовалось доказать.

Аналитическим путем можно определить моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы. Так как реальные тела редко имеют простую форму и никогда не бывают однородными, вычислениями не удается точно определить момент инерции, и моменты инерции многих тел определяют экспериментальными методами. В табл. 4.1 приведены моменты инерции некоторых однородных симметричных тел, наиболее часто встречающихся в задачах.

40

Таблица 4.1

Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел

В табл. 4.2 приведены физические величины, характеризующие поступательное движение твердого тела, и аналогичные величины, характеризующие вращательное движение твердого тела, а также выражения, связывающие их между собой.

4.3. Законы сохранения

4.3.1. Механическая работа Работа – скалярная физическая величина, равная скалярному произ-

ведению действующей силы на перемещение, то есть A = F s .

Тогда элементарная работа dA силы F на малом перемещении d s

Из последнего выражения видно, что работа может быть отрицательной, положительной или равной нулю, в зависимости от значения угла α между направлениями действия силы F и перемещения d s .

Общая работа силы на конечном участке перемещения тела от точки

1

Для вращательного движения можно рассчитать аналогично элементарную работу, производимую силой, создающей относительно оси вра-

Потенциальное поле – поле сил, которое может быть описано функцией П(x, y, z, t), градиент которой определяет силу в каждой точке поля,

то есть F = П . Функция П(x, y, z, t) называется потенциальной функцией или потенциалом. Если потенциал явно не зависит от времени, то есть

П(x, y, z), то потенциальное поле оказывается стационарным, а его силы – консервативными.

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы траектории движения, а зависит только от начального и конечного положений системы.

Работа по замкнутому контуру в поле консервативных сил равна нулю, то есть

A = ∫ Fd s = 0 .

L

42

Это выражение является необходимым и достаточным условием по-

тенциальности поля.

В случае стационарного поля П(x, y, z)= –U(x, y, z), где U(x, y, z) – по-

тенциальная энергия частицы.

4.3.2. Механическая энергия. Закон сохранения и превращения энергии

Наиболее общей мерой различных форм движения материи является ее энергия. В самом широком смысле энергия – способность системы совершать работу. Механическая энергия измеряется количеством работы, которую система тел могла бы совершить. Различают два вида механиче-

ской энергии – кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия – это энергия движения тела (или системы тел), зависящая от массы m и скорости v в случае поступательного движения

Wк = mv2 2 ,

и момента инерции J и угловой скорости ω в случае вращательного движения

Wк = Jω2 2 .

Вследствие относительности движения кинетическая энергия относительна, то есть система обладает разными значениями кинетической энергии в разных системах отсчета.

Потенциальная энергия – это энергия, зависящая только от взаимного расположения взаимодействующих тел или от взаимного расположения частей одного и того же тела. Потенциальная энергия системы определяется работой, которую могут совершить внутренние консервативные силы.

Разные виды взаимодействий тел описываются разными физическими законами, поэтому выражения для потенциальной энергии для них тоже будут иметь разный вид. Например, потенциальная энергия упруго деформированного тела зависит от абсолютной деформации тела Х и жесткости материала деформируемого тела k:

Wп. упр = kX2 2 .

Практически недостижимо такое состояние системы, в котором потенциальная энергия была бы равна нулю. Но процессы, протекающие в механических системах, связаны с переходом системы из одного состояния в другое, то есть с изменением потенциальной энергии. Это позволяет при-

нять за ноль потенциальной энергии системы любое ее значение. Поэтому имеет смысл говорить о потенциальной и кинетической энергии системы только по отношению к выбранной системе координат и только по отношению к выбранному нулевому уровню потенциальной энергии.

43

Закон сохранения и превращения механической энергии: в замкнутой консервативной системе механическая энергия W может переходить из одних видов в другие и передаваться от одних тел другим телам, но ее общее количество остается неизменным, то есть сумма кинетической и потенциальной энергии с течением времени не изменяется:

W=Wк +Wп = const .

Воснове закона сохранения энергии лежит принцип однородности времени, заключающийся в следующем: протекание физических законов в одних и тех же условиях, но в разное время их наблюдения происходит одинаковым образом. Например, справедливость закона Архимеда подтверждается уже более тысячи лет с момента его открытия.

4.3.3.Механический импульс. Закон сохранения импульса

Импульс системы тел – аддитивная величина, равная векторной сумме импульсов тел, входящих в систему.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел суммарный вектор импульса не изменяется с течением времени.

n

p = ∑mivi = const .

i=1

Таким образом, взаимодействие тел составляющих замкнутую систему, приводит к взаимному обмену импульсами между ними, но не может изменить движение системы как целого.

Закон сохранения импульса следует из однородности пространства (независимости физических явлений от места их протекания). Один и тот же физический эксперимент, поставленный в разных точках земного шара, даст совпадающие результаты.

4.3.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

рическая сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему относительно того же центра:

44