6.2 Затухающие колебания

Ранее упоминалось, что во всех реальных колебательных системах действуют силы сопротивления (трения), приводящие к рассеянию энергии и затуханию колебаний. Выражение для такой силы сопротивления имеет вид

Знак «минус» указывает на то, что сила направлена против направления движения тела.

В случае груза на пружине проекция силы сопротивления на ось OX определяется выражением

C dt

а для математического и физического маятников необходимо учитывать проекцию момента сил сопротивления на ось вращения (например, вязкое трение среды или трение в оси вращения)

Для примера рассмотрим случай наличия силы трения в оси вращения физического маятника. Для этого запишем уравнение динамики вращательного движения (6.14) с учетом (6.21) и (6.30,б)

лов, когда sinϕ ≈ ϕ , получим (в случае груза на пружине легко получить подобное уравнение, только относительно переменной х):

В случае, когда ωo > β, решением этого уравнения будет следующая зависимость угла отклонения маятника от времени:

частота затухающих колебаний. Необходимо отметить, что величина собственной круговой частоты отлична от круговой частоты собственных незатухающих колебаний – сравните полученные результаты с (6.24).

Как следует из вида функции (6.33), данные колебания не являются гармоническими, так как зависимость угла отклонения маятника от времени не является только функцией косинуса или синуса. Период затухающих

101

колебаний (промежуток времени между двумя соседними максимумами колебания) равен:

баний, которая называется логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент затухания равен натуральному лога-

рифму отношения амплитуды колебаний в данный момент времени к ам-

где Ne = τ /T – число колебаний, после совершения которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

102

Выражение (6.38) показывает, что логарифмический декремент характеризует уменьшение амплитуды колебаний за один период.

В инженерных расчетах и технических характеристиках колебательных систем для описания затухания часто используют понятие добротности. Добротность определяется выражением

Физический смысл добротности будет раскрыт позже, при рассмотрении вынужденных колебаний.

Из уравнения (6.34) видно, что при значениях β = ω0 величина периода

затухающих колебания обращается в бесконечность. То есть система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе, бесконечно долго возвращается в положение равновесия. В случаеβ ≥ω0 из решения уравне-

ния (6.32) получают, что движение системы перестает быть периодическим

– становится апериодическим, то есть экспоненциально стремится к положению равновесия без совершения колебательных движений.

6.3 Вынужденные колебания

Рассмотрим вынужденные колебания. В этом случае к возвращающей силе и силе сопротивления необходимо добавить внешнюю периодическую силу (момент силы). Момент внешней периодической силы запишем в виде:

где Ω – циклическая частота внешней силы.

Тогда уравнение динамики вращательного движения (6.14) с учетом

(6.21), (6.30,б) и (6.40) примет вид:

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для вынужденных колебаний математического маятника. Его решение есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение описывает переходный процесс возбуждения колебаний, а частное – установившиеся вынужденные колебания вида

ϕ(t) = Acos(Ωt +α) .

По истечении некоторого времени в установившемся режиме вынужденные колебания маятника будут происходить с частотой Ω внешнего

103

воздействия, а амплитуда и начальная фаза колебаний будут определяться параметрами самого маятника и внешнего периодически изменяющегося момента сил. Амплитуда установившихся колебаний определяется выражением:

величина фазы α, на которую вынужденные колебания опережают вынуждающую силу следует из уравнения

Из формулы (6.43) видно, что амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некотором значении частоты Ωрез (предполагается, что параметры системы m, l, J, r не изменяются, а меняется частота внешней силы) – эта частота называется резонансной

Ωрез = ω02 − 2β 2 . (6.45)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего периодического воздействия Ω к собственной частоте ω0 системы – называется резонансом.

Как видно из уравнения (6.43) и (6.45), для возникновения резонанса, совершенно не важно, каким образом происходит «сближение» частот – путем изменения частоты внешнего воздействия Ω, собственной частоты ω0 или коэффициента затухания β.

Найдем величину резонансной амплитуды, для этого подставим (6.45) в (6.43) и получим

В случае слабых затуханий β << ωo

В нашем случае Арез представляет собой угол максимального отклонения маятника от положения равновесия.

Рассмотрим случай, когда на систему будет действовать постоянный момент внешней силы

M ВН = M 0 ,

тогда угол отклонения маятника ϕ0, будет называться статическим отклонением. Величину статического отклонения можно определить из следующих соображений:

mglϕ0 = M 0 ,

104

то есть добротность показывает, во сколько раз величина резонансной амплитуды превышает величину статического отклонения.

На (рис. 6.4) приведено семейство амплитудных резонансных кривых при различных значениях коэффициента затухания β, на котором также показано, что не всякая система имеет резонансную частоту. Действительно, из (6.45) следует, что Ωрез имеет вещественные значения только при

ω0 ≥ 2β , а в остальных случаях резонанс не наблюдается.

Рис. 6.6

6.4 Сложение колебаний

Чаще всего в практических задачах приходится рассматривать процессы, в которых изменение физических величин описывается суммой двух или более колебаний, например колебание гитарной струны или человеческий голос. Основные закономерности сложения гармонических колебаний могут быть рассмотрены на примере сложения двух колебаний.

Если тело одновременно участвует в двух колебаниях вдоль оси X x1 (t) = A1 sin (ω1t +ϕ1 ) и x2 (t) = A2 sin (ω2t +ϕ2 ), то его координата x будет описываться уравнением

второго утверждения следует, что проекция суммарного вектора и есть результирующее колебание.

Поскольку длины векторов A1 и A2 , а также угол между ними φ2–φ1 при вращении не изменяются (так как у них одинаковая скорость вращения), то и вектор A будет сохранять неизменной свою длину и расположение относительно векторов A1 и A2 , а значит, A будет вращаться с такой же угловой скоростью, как A1 и A2 . Это отражает тот факт, что сумма двух

гармонических колебаний с одинаковой частотой также является гармоническим колебанием той же частоты.

Наглядность и простота метода векторных диаграмм заключается в том, что основные параметры результирующего колебания можно найти из геометрических соображений. Из рис. 6.8 видно, что амплитуда А и начальная фаза α результирующего колебания определяется следующими выражениями:

(теорема косинусов для треугольника, образованного векторами

A, A1 и A2 );

Если складываемые колебания будут иметь разные частоты, то изображающие их векторы A1 и A2 будут вращаться с разными угловыми скоростями, их относительное расположение будет периодически изменяться,

и длина вектора A уже не будет постоянной, а его вращение не будет равномерным. Таким образом, при сложении колебаний с разными частотами результирующее колебание уже не будет гармоническим.

Наиболее прост для рассмотрения и вместе с тем интересен случай, когда частоты складываемых колебаний мало отличаются друг от друга:

Для удобства рассмотрения, положим амплитуды складываемых колебаний одинаковыми, а начальные фазы равными нулю. В этом случае

Стоит отметить, что колебание sin(ω t) происходит с частотой близкой к ω1 и ω2 .

sin(ωt), (рис. 6.9). Это дает возможность рассматривать результат сложе-

ния колебаний как гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда которого медленно изменяется со временем. Такой колебательный процесс носит название биений. На рис. 6.9 сплошной линией показан график результирующего колебания, а штриховой — огибающая этого колебания

TБ = ∆2πω . Из условия (6.54) следует, что период биений TБ = ∆2πω >>T = 2ωπ

(рис. 6.9).

Рис. 6.9

108

Явление биений удобно использовать для сравнения частоты некоторого сигнала с частотой, принимаемой за эталон. Например, при сложении двух звуковых сигналов с близкими частотами будет слышна характерная пульсация громкости звука с периодом TБ . Это часто используется при на-

стройке музыкальных инструментов.

Если точка одновременно участвует в двух колебательных движениях во взаимно перпендикулярных направлениях:

то говорят о сложении взаимно перпендикулярных колебаний. Для более наглядного описания можно представить ту же тележку с маятниковыми часами, только в данном случае тележка будет двигаться перпендикулярно плоскости качания маятника.

Если отношение частот в (6.57) выражается рациональным числом: ω1/ω2=m/n, где m, n — целые числа (в этом случае говорят, что частоты ω1 и ω2 соизмеримы), траектория движения точки будет представлять собой замкнутую кривую, так как через определенный промежуток времени (равный общему периоду колебаний, который определяется как наименьшее общее кратное периодов колебаний по х и по у) будут повторяться значения обеих координат. Эту кривую (их общее название — фигуры Лиссажу) мы можем наблюдать на экране электронного осциллографа, если на две пары его пластин подать сигналы с соизмеримыми частотами. По форме этой фигуры легко определить отношение частот колебаний по осям х и у: оно равно отношению числа касаний кривой Лиссажу с вертикальными и горизонтальными сторонами описанного прямоугольника соответственно. Так, на рис. 6.10 первая кривая Лиссажу соответствует ω1/ω2=3/1, вторая — ω1/ω2=1/2. Обратите внимание, что если кривая Лиссажу не замкнута (как на рис. 6.10,а), то при подсчете точек касания ее начало и конец учитываются с коэффициентом 1/2.

Рис. 6.10

109

Представляет интерес определение формы траектории из уравнений движения. Для решения этой задачи служат: основное тригонометрическое тождество, формулы синуса (косинуса) суммы, а также (при сложении колебаний с разными частотами) формулы тригонометрических функций кратного угла. Пусть складываемые колебания имеют одинаковую частоту, но различные начальные фазы.

Для нахождения формы траектории необходимо исключить из этих уравнений время. Этого можно добиться, если возвести уравнения (6.59) в квадрат и применить основное тригонометрическое тождество, соответствующим образом группируя слагаемые в уравнениях. Получившееся уравнение

задает эллипс, вписанный в прямоугольник размером 2А×2В и повернутый относительно осей координат на некоторый угол (рис. 6.11).

При некоторых значениях фазового сдвига α уравнение (6.60) принимает особенно простой вид:

а) при α = πk (k=0, ±1, ±2 и т. д.) эллипс вырождается в отрезок прямой;

б) при α = (2k+1)π/2 (k=0, ±1, ±2 и т. д.)

оси эллипса совпадают с осями координат.

Если же периоды колебаний по х и у не соизмеримы, траектория колеблющейся точки Рис. 6.11 будет постепенно заполнять весь прямо-

угольник 2А × 2В.

110