Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри

Означення: Аналітична на всій комплексній площині функція називається цілою функцією.

Теорема (Ліувіля). Нехай - ціла функція, а її модуль обмежений, тоді ця функція – константа.

Доведення [3, с.173], [2, с.225].

Приклад. - ціла функція і, отже- необмежений, тобто існуєz такий, що .

Застосування теореми Ліувіля є основною теоремою алгебри:

Всякий многочлен має хоча б один нуль.

Доведення слідує з того, що якщо нулів немає, то функція має обмежений модуль і є цілою, не буде константою. Це протиречить теоремі Ліувіля. Отже, припущення щодо відсутності нуля – невірне.

Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду

Теорема. Функція , аналітична в середині коларозкладається в цьому колі в степеневий ряд:

.

Коефіцієнти визначаються по формуліабо, деl- будь-який кусочно-гладкий замкнений контур, який повністю належить колу та знаходиться навколо точки . Ряд визначений однозначно.

Доведення теореми див. [2, с.225], [1,с.64].

Нехай аналітична в колі. Приймемо за- будь-яка окружність з центром в точці, що цілком лежить в колі, і через- максимум модуляна колі, тоді для коефіцієнтів ряду Тейлора вірна оцінка

,

які носять назву нерівність Коші.

Приклад. Розкласти в ряд для.

Розв’язання.

Вправи.

Розкласти в ряд Тейлора в =0 функції:

Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності

Означення. Нехай аналітична в області. Точка називається нулем , якщо.

Нехай розкладається в околі в ряд , тоді якщо – нуль , то. Якщо , – називається нулем порядку k.

Якщо - нуль порядкуk, то , де- аналітична функція в околіі не є нулем функції .

Теорема. Нехай аналітична в областіі обертається в нуль в різноманітних точках . Якщо послідовність сходиться до, в області.

Доведення теореми див. [2. с.263], [1, с.72].

Наслідок 1. Нулі аналітичних функцій – ізольовані точки.

Наслідок 2. Нехай аналітична в області, тоді в будь-якій обмеженій замкненій підобластіфункціямає скінчене число нулів.

Наслідок з теореми являє собою теорему єдиності:

Нехай іаналітичні в. Якщо віснує деяка підпослідовність різноманітних точок, що сходиться до деякої точки, в яких іспівпадають, тов.

З теореми єдиності легко отримати:

Наслідок 1: Якщо іаналітичні ві співпадають на деякій кривій, що належить, то.

Наслідок 2: Якщо ,аналітичні в, відповідно і, область така, що, то існує єдина аналітична функція

Приклад. Визначити нулі та їх порядок .

Розв’язання:

Нулями є точки . Покажемо, що нулі мають порядок 1. Дійсно,для нуля,та, тобто 3і – нуль першого порядку. Аналогічно для.

Вправи.

Знайти порядок нуля z=0 для функцій:

Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження

Нехай аналітична вта. Розкладемо в степеневий ряд в околі точки

: .

Тоді можливі два випадки:

1) радіус збіжності ряду не більший відстані від до границі області .

В цьому випадку розклад не виводить первісну аналітичну функцію за межі області .

2) радіус збіжності ряду більший за відстань від до границі

Нехай – коло збіжності ряду,та, причому аналітична функція, що задана рядом вспівпадає зв середині, тобто говорять, щоє аналітичним продовженнямв. Причому, за теоремою про єдиність, це продовження єдине. Міркуючи аналогічно для деяких і т.д. отримаємо аналогічне продовження вздовж ланцюга. Будуючи різноманітні ланцюги областей, що виходять за, ми отримаємо аналітичне продовженняна область, що містить.

Означення. Функція F(z), отримана шляхом аналітичного продовження вздовж різноманітних ланцюгів, що виходять з області , первинного задання, називається повним аналітичним продовженням функції.

Розглянемо ряди

.

Степеневі ряди сходяться по всій - площині. Крім цього, , - задані по всій площині і є аналітичними, причому, , для і по теоремі єдиності, тобто, - аналітичні продовження , з дійсної осі.

Більш детально див. [1, 2, 3].