Показникова функція комплексної змінної

Функція виду

називається показниковою функцією, яка відображає розширену площину zна розширену площину.

Властивості

1) ;

2) ;

3) , тобто– період показникової функції.

Теорема: показникова функція взаємно-однозначно та конформно відображає смугу шириною, паралельну дійсної осі, на кут розчину з вершиною в початку координат.

Наслідок: смуга конформно відображається на площинуз вирізаною додатною частиною дійсної осі. Причому, нижня границяпереходе у верхній берег розрізу, а– в нижній берег розрізу.

Доведення див. [3, с. 91].

Поверхня Рімана, у яку конформно відображається розширена площина z будується наступним чином: потрібно взяти нескінченно багато площин , у яких відтворений розріз по додатній частині дійсної осі. Розміщуючи площини одна під іншою та нижній берег розрізусклеїмо з верхнім берегом розрізуі т. д. Та склеїмо площини у нескінченно віддаленій точці. Отримана нескінченно-листа поверхня – поверхня Римана.

Приклад: Відобразити за допомогою функції.

Розв’язання: () тоді, тобто,. Тодіта– спіраль.

Вправи

Вияснити, у що перетворюється за допомогою :

1. пряма ;

2. смуга ;

3. півсмуга ;

4. півсмуга ;

5. прямокутник ;

Знайти відображення, яке переводе:

6. смугу на площину;

7. смугу у праву півплощину;

8. смугу у ліву півплощину;

9. смугу у площину;

10) смугу у нижню півплощину.

Тригонометричні функції

Функції,

які визначені на площиніz, називаються косинусом та синусом від комплексного z.

ВЛАСТИВОСТІ:

1. –парна, - непарна функції;

2. , періодичні з періодом ;

3. ,– необмежені у уявному направленні, тобто ;

4. всі тригонометричні формули виконуються для,;

5. .

Оскільки, то достатньо розглянути функцію.

Теорема.Функція смуги конформно відображує на площинуз розрізами по променям [-;-1] та [1;]. Причому, якщо k – парне, то верхня півсмуга відображається у нижню півплощинута півпрямі,() відображаються у нижній берег розрізіввідповідно по променям [1;], [–;–1]; нижня півсмуга відображається у верхню півплощину, при цьому,відображається у верхній берег розрізів по променям [1;], [-;-1] відповідно. При k непарному внутрішність нижньої півсмуги відображається у нижню півплощинута,() відображається у нижній берег розрізів по променям відповідно [–;–1] та [1;]; верхня півсмуга відображається на верхню півплощинута,відображається на верхній берег розрізів відповідно[–;–1], [1;].

Доведення тереми див. [2, с.160].

Поверхня Римана , на яку конформно відображається вся площинаz, отримується з нескінченого числа площин, в кожній з яких проведено розріз по променям [1;], [–;–1]. Склеюючи площини по відповідним берегам розрізів[1;], [-;-1], отримуємо потрібну поверхню.

Приклад. З’ясувати, у що перетворюється пряма функцією.

Розв’язання:

.

Тоді u=,

або , .

.

Тобто відображає прямуу гіперболу.

Вправи

З’ясувати, у що перетворюється при відображенні

1)

2);

3) смуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ; ;

6) півсмуга ;

7) півсмуга ;

8) півсмуга ;

9) смуга ;

10) півсмуга .