Теорема коші

Теорема Коші 1: Нехай у однозв’язній області задана однозначна аналітична функція. Тоді інтеграл від цієї функціїпо будь-якому замкнутому контуру, який цілком лежить в області , дорівнює нулю, тобто

.

Теорема Коші 2: Якщо функція є аналітичною функцією у однозв’язній області, обмеженої кусково-гладким контуромС, та неперервна у замкнутій області , то

.

Наслідок: нехай є аналітичною функцією у багатозв’язній області, обмеженої ззовні контуром, а з середини – контурамитанеперервна у замкнутій області. Тоді

,

де С– повна границя, причому обхід границі Свиникає у додатковому напрямку, тобто, область при обході зліва.

При цьому ( обходяться у додатковому напрямку, тобто проти часової стрілки).

Доведення: див. [1, с.41].

Наслідок. В умовах теореми Коші для будь-якої кусочно-гладкої кривої, яка з’єднує точки таінтеграл відне залежить від вибраного шляху.

Невизначений інтеграл. Формула ньютона-лейбніца

Нехай функція аналітична в областіD, тоді розглянемо функцію – інтеграл не залежить від шляху інтегрування, який з’єднує точки zта (в силу теореми Коші).

Теорема. Нехай визначена та неперервна у однозв’язній області D, а інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру D дорівнює нулю, тоді

(z,)є аналітичною функцією в D та.

Доведення: див. [1, с.44].

Помітимо, що для аналітичної умови теореми виконані.

Зауваження: в умовах теореми – первісна до функції, тоді в силу теореми не важко отримати формулу типу Ньютона-Лейбніца.

У межах умов, вказаних у теремі справедлива формула

=,

де - довільна первісна функціїна областіD.

Приклад: обчислити

Розв’язання. Оскільки – аналітична на всій площиніz, а – первісна, то

=.

Вправи

Обчислити:

1) ,AB – шлях, який з’єднує точки ;

2) ;

3) - еліпс;

4) АВ з’єднує точки 1, і;

5) – еліпс;

6) – коло;

7) АВ – з’єднує точки ;

8) ;

9) ;

10 ,.

Формула коші. Принцип максимума модуля

Теорема. Нехай функція – аналітична в однозв’язній областіD. Тоді для будь-якої точки і для будь-якого замкнутого кусково-гладкого контуру, який цілком лежить в області та містить точкувсередині себе, виконується рівність

,

де інтегрування виконується у додатному напрямку замкнутого контуру .

Доведення: див. [2, с.215], [1, с.46], [3, с. 169].

Наслідок: нехай - коло радіусу R з центром , тоді використовуючи формули Коші можна отримати теорему, яка уточнює відому теорему Вейєрштрасса у випадку аналітичної функції.

Теорема.(принцип максимуму модуля аналітичної функції) Нехай функція , тотожно не рівна постійній, є аналітичною в областіD і є неперервною в замкненій області . Тоді максимальне значеннядосягається тільки на границі області.

Доведення стор.220, 201[3], 49[1].

Крім цього, має місце теорема:

Нехай аналітична в областіта неперервна в. Тоді у внутрішніх точках областііснує похіднабудь-якого порядку, причому має місце наступна формула,

де Г- границя області .

Доведення див. [2, с. 222-223].

Приклад: Знайти ,.

Розв’язання:

Розглянемо функцію , тоді інтегралпо формулі Коші (знаходиться в середині контуру) дорівнює.

Вправи.

Обчислити