- •Комплексні числа. Алгебраїчна, геометрична, тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Функції із с в с. Границя, неперервність
- •Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня римана
- •Функція жуковського
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалудження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема коші
- •Невизначений інтеграл. Формула ньютона-лейбніца
- •Формула коші. Принцип максимума модуля
- •Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •Критерій полюса
- •Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •Раціональні і міроморфні функції
- •Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •Основна теорема теорії лишків
- •Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Зразки розв'язування задач з теорії функцій комплексної змінної
- •Контрольні роботи Денна форма навчання. 4 курс, 8 семестр Контрольна робота №1
- •Контрольна робота №2
- •Контрольна робота з теорії функції комплексної змінної для студентів 4 курсу (заочна форма навчання)
- •Література
Логарифмічна функція. Точка розгалудження
Означення: функція, обернена до функції , називаєтьсялогарифмічною та позначається . Змінюючи позначення, можна записати.
З означення:
1) ;
2) крім того , тобто, значить,. Таким чином, кожномуzвідповідає нескінченно багато значень , тобто .
Функції називаються вітками багатозначної функції. Кожна вітка виконує конформне відображенняk–го листа поверхні Римана показникової функції на відповідну смугу комплексної площини, на якій визначена показникова функція.
Нехай С – замкнута крива в площині z, яка не містить всередині себе точки z=0, тоді якщо z пробігає криву С , опише замкнуту криву у площині.
Якщо замкнута крива С містить всередині себе точку z=0, то при обході точки z кривої С її аргумент міняється з на+та значить значення при обході z навколо кривої зміниться на , тобто від віткими перейдемо допри обходіz навколо точки z=0. Тоді z=0 називається точкою розгалуження. Такі самі дії можна провести і для точки z=.
Враховуючи взаємно-однозначність відображення віток та, те, щоотримали, то віткивиконують конформні відображення.
Приклад: знайти .
Розв’язання =:
Вправи
Знайти значення:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) )
У що перетворюються при відображенні
6) ;
7) ;
8) ;
9) сектор ,;
10) спіраль .
Радикал. Загальна степенева функція
Функція – обернена по відношенню до функції. Функціяєn-значною функцією, при цьому функції називаються вітками вихідної функції. Кожна віткавиконує конформне відображенняk-го листа поверхні Римана функції на відповідний кут площини(див. властивості функції).
При цьому при обході точки z по замкнутій кривій, яка містить 0 її аргумент змінюється на , значить і змінить своє значення (при обходіz по кривій) з на, тобтоz=0 - точка розгалуження функції (аналогічно і z=).
Загальна степенева функція ,- визначається якбагатозначна функція, яка має звичайні властивості степеневої функції:
1) = ;
2) := ;
3) ()b= ;
крім того, точка розгалуженняz=0, z=.
Обернені тригонометричні функції
- обернена до або. Розв’язуючи квадратне рівняння відносно, отримаємота- багатозначна функція з точками розгалуження.
Приклад. Знайти .
Розв’язання
=.
Вправи
Обчислити:
1) ;
2)
3) ;
4);
5)
Знайти, у що відображає вітки функції
6);
7) кут ;
8) сектор ;
9).
10) кут .
Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру
Нехай С-крива на площиніz, а функція визначена вздовж кривоїС. Розіб’ємо криву Сз довільними точками та виберемо на дузідовільні точки.
Сума – інтегральна сума для даного розбиття та вибраних точок, позначимо– максимальну довжину дуг,.
Означення: число називається інтегралом функціївздовж кривоїС, а функція називається інтегрованою вздовж кривої С, якщо для будь-якого існує таке, що для будь-якого розбиття кривої, параметр якоговиконується нерівністьнезалежно від вибраних точок.
Позначимо: .
Теорема: Нехай С-кусково-гладка крива, а – кусково-неперервна та обмежена, тоінтегрована уздовжС та
Доведенняцього факту можна знайти [1, с.39].
Крім того, оскільки інтеграл від комплексної функції виражається через звичайні криволінійні інтеграли, то всі властивості звичайного інтегралу виконуються у випадку інтегралу від комплексної функції:
1) ;
2) ;
3)
4) , де,L – довжина кривої С і т.д.
Приклад: обчислити , де C– дуга .
Розв’язання:
,
.
Вправи:
Обчислити
по півколу та ;
по півколу та ;
та ;
та ;
,С– замкнений контур, який складається з верхнього півкола та відрізку.
Обчислити :
та ;
, ;
;
С: радіус-вектор ;
10) С: початок шляху в точці z=1.