Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана

Теорема. Нехай аналітична в кільці, тоді вона в цьому кільці однозначно визначена рядом Лорана, що збігається

.

Доведення теореми див. [2, с.282], [1, с.110].

Приклад. Розкласти в ряд функцію

Розв’язання:

Вправи.

Розкласти в ряд Лорана в околі точки

Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається

Означення. Нехай називається ізольованою особливою точкою - якщоаналітична функція в кільці, а- особлива точка (тобто в не є аналітичною).

В кільці розкладається в ряд Лорана; отримаємо один з трьох випадків:

У першому випадку називається особливою точкою, яка усувається.

У другому випадку називається полюсом порядку m.

У третьому випадку називається істотною особливою точкою.

Теорема. Нехай особлива точка , яка усувається, тоді існує скінчений

Таким чином, можна довизначити в точці значенням і вона буде аналітичною в колі .

Теорема. Якщо аналітична вта обмежена, то- особлива точка , яка усувається.

Доведення теореми див. [1, с.212], [2, с. 289].

Нехай аналітична в деякому околі нескінченно віддаленої точки. Припустимо, щопри цьому, перейде в. Функціяаналітична в околі. Нехай розкладв ряд Лорана в околімає вигляд. Повертаючись до змінної, маємо

1. Якщо в отриманому розкладі немає членів з додатними степенями, то-особлива точка, яка усувається.

2. Якщо в розкладі скінчене число членів з додатними степенями, то-полюс.

3. Якщо в розкладі нескінчене число членів з додатними степенями, то-істотно особлива точка.

Приклад. .

Розв’язання:

- аналітична, крім перша чудова границя. Таким чином,- особлива точка, яка усувається.

Критерій полюса

Нехай аналітична в.

Теорема. Для того, щоб було полюсом функції необхідно і достатньо, щоб

Доведення теореми див. [2, с. 293], [1, с. 114].

Зауваження: Якщо - полюс порядку m функції , то її можна представити у вигляді, деіаналітична в колі

Приклад 1. , де– полюси першого порядку, – полюс другого порядку.

Приклад 2. . Знайти полюса.

Розв’язання: , т. я., а. Таким чином,, дев точці- аналітична, отже- полюс другого порядку.

Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса

Нехай - істотна особлива точка функції аналітичної в області.

Теорема (Сохоцького-Вейєрштрасса). Яке б не було комплексне число W(скінчене або нескінчене), існує така послідовність , що

.

Доведення теореми див.[2, с.294], [1, с.115].

Приклад. . Знайти особливі точки.

Розв’язання: - ізольована особлива точка, так як в іншихz - аналітична.

, тобто в розкладі в ряд Лорана нескінченно багато від’ємних степеней. Отже, - істотно особлива точка.

Вправидо пунктів 24, 25, 26.

1. Довести, що - особлива точка, яка усувається.

1)

2)

2. Довести, що - полюс.

1)

2)

3. Довести, що - істотно особлива точка.

4. Знайти особливі точки.

Раціональні і міроморфні функції

Означення. Цілою називається функція , аналітична в усіх точках розширеної площиниz, за виключенням нескінченно віддаленої точки.

Якщо полюспорядкуm, то має розклад Лорана ву вигляді-ціла раціональна функція степені m.

Якщо істотньо особлива, то–ціла трансцендентна функція.

Означення. Міроморфною називається така аналітична функція , яка в скінченій частині комплексної площиниz не має інших особливих точок, крім полюсів.

Окремими класами міроморфних функцій є цілі та дробово-раціональні функції.

Дробово-раціональна функція -.

Теорема. Однозначна функція , всі особливості якої в розширеній комплексній площині є полюси, є дробово-раціональною функцією.

Доведення теореми див.[2, с.301].