vm1

J Зведемо дану матрицю до еквiвалентної матрицi, ранг якої знаходиться простiше.

Помноживши перший рядок на (¡1) i додавши до третього рядка, одержимо матрицю

У матрицi A1 помножимо перший стовпчик по черзi на (¡2), (¡1), (¡1) i додамо вiдповiдно до другого, третього i четвертого

Якщо помножити другий стовпчик на (¡1) i додати спочатку до третього стовпчика, а потiм до четвертого, то дiстанемо матрицю

Викреслювання третього i четвертого стовпчикiв дає матрицю

матрицi A6 i дорiвнює 2, тобто rang(A) = rang(A6) = 2. I

3.7. Метод Жордана-Гаусса послiдовного виключення змiнних. Розв’язування систем лiнiйних рiвнянь

61

методом Крамера та за допомогою матричного методу (методу оберненої матрицi) пов’язанi з великою кiлькiстю обчислень. Значно швидше можна розв’язати систему лiнiйних рiвнянь методом послiдовного виключення невiдомих, який називають

методом Жордана-Гаусса.

>

>

: am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm:

Нехай деякий коефiцiєнт aij =6 0. Назвемо його розв’я- зувальним (провiдним). Рядок, якому належить розв’язувальний елемент, називатимемо розв’язувальним (провiдним) рядком, а стовпчик, якому належить розв’язувальний елемент – розв’язувальним (провiдним) стовпчиком.

Запишемо систему (21) у виглядi таблицi

Припустимо, що a11 6= 0. Подiлимо на нього всi елементи першого рядка. Користуючись першим рядком, виключимо змiнну x1 з решти рiвнянь. Для цього помножимо перший рядок по

черзi на ¡a21, ¡a31,. . . ,¡am1 i додамо вiдповiдно до другого, третього, . . . , m-го рядка. Дiстанемо таблицю

0a0m2 : : : a0mn b0m

Далi за розв’язувальний елемент вiзьмемо a022 =6 0 (якщо a022 = 0, то мiняємо мiсцями друге рiвняння з якимось iз наступних, щоб одержати рiвносильну систему з a022 =6 0) i з його

62

допомогою виключимо, аналогiчно як x1, змiнну x2 з решти рiвнянь (дiстанемо нулi в другому стовпчику пiд a022)

00 a00m3 : : : a00mn b00m

Якщо пiд час перетворень одержимо рядок, який складається з нулiв, то його можна вiдкинути.

Продовжуємо процес далi. При цьому можливi такi ситуацiї: 1) пiсля деякого кроку дiстанемо рядок, у якому всi елементи лiвiше вертикальної риски дорiвнюють нулю, а елемент правiше цiєї риски не дорiвнює нулю (всi коефiцiєнти при змiнних деякого рiвняння дорiвнюють нулю, а вiльний член вiдмiнний вiд нуля), тодi система несумiсна; 2) такого рядка не дiстанемо, то система сумiсна.

У другому випадку матимемо таблицю

Якщо ранг вiдповiдної системи r = n, то вона має єдиний розв’язок. Щоб одержати цей розв’язок, необхiдно в передостаннє рiвняння замiсть xn пiдставити його значення з останнього рiвняння i знайти xn¡1 i т.д. Якщо r < n, то першi r змiннi x1; x2; : : : ; xr виражаємо через решту змiнних

У системi (22) змiннi x1; x2,. . . ,xr вираженi через xr+1, xr+2, . . . , xn. Такий розв’язок системи називається загальним розв’язком, змiннi x1, x2, . . . , xr називаються базисними, змiннi xr+1, xr+2, . . . , xn – вiльними. Надаючи вiльним змiнним довiльних значень, дiставатимемо частиннi розв’язки.

Якщо вiльним змiнним надати нульових значень, то iз системи (22) одержимо значення базисних змiнних

x1 = d01; x2 = d02; : : : ; xr = d0r:

Одержаний розв’язок системи (21) називають базисним розв’язком. Кiлькiсть базисних розв’язкiв не перевищує Cnm. Якщо один базисний розв’язок знайдено, то для вiдшукання iншого одну з небазисних змiнних переводять у базиснi, а вiдповiдну базисну – у небазиснi.

Базисний розв’язок, у якого всi базиснi змiннi невiд’ємнi, називається допустимим базисним розв’язком.

Зручно здiйснювати зведення системи (21) до базисної фор-

за допомогою методу Жордана-Гаусса.

Розглянемо детально цей процес. Нехай змiнна xs входить у r-е рiвняння з коефiцiєнтом ars. Для того щоб вона стала базисною, подiлимо r-е рiвняння на ars =6 0, тобто зробимо коефiцiєнт при xs одиницею, i результат вiднiмемо вiд кожного з решти рiвнянь, множачи кожного разу його на вiдповiдний елемент ais (дiстанемо змiнну xs з коефiцiєнтом 0).

Сукупнiсть операцiй, якi утворюють крок жорданових виключень, називаються жордановим перетворенням. Формули для обчислення коефiцiєнтiв a0ij, b0i, i 2 f1; : : : ; mg, нової системи, одержаної у результатi одного кроку жорданових виключень iз розв’язувальним елементом ars, мають вигляд:

64

Обчислення за формулами (24) можна описати за допомогою правила прямокутника: щоб знайти елемент a0ij, треба вiд елемента aij вiдняти добуток коефiцiєнтiв, якi стоять навпроти нього у провiдних стовпчику i рядку, подiлений на

Отже, послiдовнiсть дiй, якi виконуються на одному кроцi жорданових перетворень у вiдповiдностi з формулами (24) така: провiдний елемент замiнюється одиницею; усi решта елементiв провiдного рядка дiляться на провiдний елемент; усi решта елементiв провiдного стовпчика замiнюються нулями; елементи, якi не належать провiдним рядку або стовпчику, обчислюються за правилом прямокутника.

Для перетворення системи (21) у базисну форму (23) треба не бiльше нiж m крокiв жорданових перетворень. На першому кроцi за провiдний елемент вибирається довiльний елемент ars 6= 0. На другому кроцi провiдний елемент вибирається у будь-якому рiвняннi (крiм r-го) серед ненульових коефiцiєнтiв системи, одержаної пiсля першого кроку i т.д. Якщо в процесi виключень з’явиться рiвняння, у якому лiва частина дорiвнює нулю, а вiльний член вiдмiнний вiд нуля, – це ознака несумiсностi системи. Якщо лiва i права частини деякого рiвняння перетворюються в нуль, то воно є лiнiйною комбiнацiєю решти рiвнянь, i його треба виключити з розгляду. Отже, у процесi жорданових перетворень або встановлюється несумiснiсть системи рiвнянь, або система зводиться до еквiвалентної базисної системи (23), звiдки розв’язок одержується безпосередньо. Формули жорданових перетворень (24) застосовуються як у випадку m = n, так i у випадку m < n.

65

Приклад 9. Розв’язати систему лiнiйних рiвнянь методом Жордана-Гаусса

де x1, x2, x3 – базиснi змiннi, а x4, x5 – вiльнi змiннi. Тому загальний розв’язок системи: x1 = ¡8¡21x5, x2 = 3+x4+7x5, x3 = 6+2x4+11x5, fx4; x5g ½ R. Якщо покласти x4 = 0, x5 = 0, то одержимо базисний

розв’язок x1 = ¡8, x2 = 3, x3 = 6, x4 = 0, x5 = 0. I

За допомогою методу Жордана-Гаусса можна знаходити матрицю, обернену до даної. При цьому не треба дослiджувати задану матрицю на особливiсть, обчислюючи її визначник. Якщо можливе число крокiв жорданових перетворень r менше вiд порядку n матрицi (r < n), то матриця особлива й оберненої

немає.

Приклад 10. Знайти матрицю, обернену до матрицi

66

– розширеною матрицею системи (21).

Вiдповiдь на питання, коли система (21) є сумiсною дає така теорема.

Теорема Кронекера-Капеллi. Система лiнiйних рiвнянь сумiсна тодi й тiльки тодi, коли ранг матрицi системи дорiвнює рангу розширеної матрицi цiєї системи, тобто

rang(A) = rang(A1).

Отже, якщо rang(A) < rang(A1), то система (21) не має розв’язкiв. Вона суперечлива – не iснує вектора x0 = (x01; x02; : : : ; x0n), який задовольняє одночасно всi рiвняння (21).

У випадку, коли rang(A) = rang(A1) = k, система (21) має розв’язки. Щоб знайти їх, ми повиннi вибрати iз системи (21) деякi k рiвнянь, матриця коефiцiєнтiв яких має ранг k, i розв’язати цi рiвняння. Розв’язкiв у цiєї системи k рiвнянь з n невiдомими безлiч. При цьому довiльний розв’язок даних k рiвнянь є розв’язком i решти n ¡ k рiвнянь системи (21).

Описанi вище випадки вичерпують усi можливi ситуацiї, оскiльки ранг A1 не може бути меншим, нiж ранг A.

Для розв’язання системи (21) у загальному випадку не треба обчислювати ранги матриць A i A1, а потiм їх порiвнювати. Достатньо одразу застосувати метод Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса зручний тим, що вiн є найменш трудомiстким, дозволяє одночасно встановити сумiсна дана система чи нi, i у випадку сумiсностi знайти її розв’язки. Крiм того, вiн дає можливiсть знайти максимальне число лiнiйно незалежних рiвнянь – ранг матрицi системи.

Приклад 11. Розв’язати систему рiвнянь

8

< x1 + x2 + x3 = 1;

:x1 + x2 + 2x3 = 1; x1 + x2 + 3x3 = 2:

J Матриця системи

має визначник jAj = 0. Очевидно, що ранг матрицi A дорiвнює 2, бо

68

має ранг, що дорiвнює 3, оскiльки визначник, породжений даною

Очевидно, що jAj = 0, а rang(A1) = rang(A) = 2. Отже, система сумiсна i для знаходження її розв’язкiв виберемо два рiвняння таких, щоб ранг матрицi з їхнiх коефiцiєнтiв дорiвнював 2. Вiзьмемо, наприклад, перше i друге рiвняння

½ x1 + x2 + x3 = 1; x1 + x2 + 2x3 = 1:

Запишемо цю систему у виглядi

½ x1 + x3 = 1 ¡ x2; x1 + 2x3 = 1 ¡ x2:

Визначник ¢ останньої системи

¯¯

¢= ¯¯¯ 11 12 ¯¯¯ = 1 =6 0;

тому вона має єдиний розв’язок при довiльнiй правiй частинi:

69

Отже, трiйки чисел (1 ¡ x2; x2; 0) при будь-якому x2 2 R дають всi розв’язки даної системи. I

8. Знайти матрицю, обернену до даної:

70