vm1

10.Написати рiвняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих 2x ¡ 3y ¡ 1 = 0 i 3x ¡ y ¡ 2 = 0 перпендикулярно до прямої y = x + 1.

11.Через точки перетину прямої x¡2y+6 = 0 з осями координат провести прямi до неї перпендикулярнi.

12.Задано вершини трикутника A(1; ¡2), B(5; 4) i C(¡2; 0). Записати рiвняння бiсектриси його внутрiшнього кута при вершинi A.

13.Знайти координати точки, симетричної точцi M(¡2; 9) вiдносно прямої 2x ¡ 3y + 18 = 0.

14.Записати рiвняння прямих, на яких лежать бiсектриси кутiв мiж прямими 3x ¡ 4y + 7 = 0 i 5x + 12y ¡ 1 = 0.

15.Записати рiвняння прямих, на яких лежать катети прямокутного рiвнобедреного трикутника, якщо вiдомi координати вершини C(5; ¡1) прямого кута й рiвняння гiпотенузи 2x ¡ 3y + 5 = 0.

16.При яких значеннях параметра a пряма

(a ¡ 3)x + (a2 ¡ 4)y + a2 ¡ 7a + 1 = 0

1) паралельна осi Ox; 2) паралельна осi Oy; 3) проходить через початок координат.

Вiдповiдi

1. 1) 2x + 3y ¡ 7 = 0; 2) 3x ¡ 2y ¡ 4 = 0. 2. 7x ¡ 2y ¡ 12 = 0; 5x+

3) ® = 3, ¯ = 2. 7. 4x + y + 5 = 0 або y ¡ 3 = 0. 8. 3x + 2y ¡ 34 = 0.

або 5x + y ¡ 3 = 0. 13. (2; 3). 14. 7x ¡ 56y + 48 = 0, 32x + 4y + 43 = 0. 15. y + 1 = 5(x ¡ 5), y + 1 = ¡15(x ¡ 5). 16. 1) a = 3; 2) a = §2; 3) a1 = 2, a2 = 5.

171

§4. Кривi другого порядку

4.1.Рiвняння кривої другого порядку. На площинi,

вдеякiй прямокутнiй системi координат Oxy розглянемо рiвняння другого порядку

де A, B, C, D, E, F – заданi дiйснi числа i, крiм того, принаймнi одне з чисел A, B або C вiдмiнне вiд нуля. Сукупнiсть точок площини, координати яких задовольняють рiвняння (50), називається кривою другого порядку. Може трапитися, що немає точок iз дiйсними координатами, якi задовольняють рiвняння (50). У цьому випадку кажуть, що рiвняння (50) визначає уявну криву другого порядку.

Ранiше ми вивели рiвняння кола з центром у точцi M0(x0; y0) i радiусом R:

Якщо розкрити дужки в рiвняннi (51), то дiстанемо рiвняння кола у такому виглядi:

x2 + y2 ¡ 2x0x ¡ 2y0y + x20 + y02 ¡ R2 = 0:

Це рiвняння є рiвнянням вигляду (50), де коефiцiєнт B = 0,

аA = C. Легко бачити, що рiвняння (50), у якому A = C,

аB = 0 визначає коло, якщо воно взагалi визначає деякий

реальний об’єкт.

Приклад 1. Довести, що рiвняння x2 + y2 ¡ 2x + 4y ¡ 11 = 0 визначає коло i знайти координати його центра й радiус.

J Оскiльки A = C i B = 0, то рiвняння визначає коло. Щоб знайти центр i радiус даного кола, запишемо рiвняння у виглядi

(x2 ¡ 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 16

або

(x ¡ 1)2 + (y + 2)2 = 42:

Отже, центр кола M0(1; ¡2), а радiус R = 4. I

172

Позначимо фокуси через F1 i F2, вiдстань мiж ними – через 2c, а сталу величину, що дорiвнює сумi вiдстаней кожної точки елiпса до фокусiв, через 2a. Згiдно з умовою 2a > 2c, тобто a > c.

Побудуємо декартову систему координат так, щоб фокуси F1 i F2 лежали на осi абсцис, а початок координат збiгався iз серединою вiдрiзка F1F2. У такiй системi координат фокуси

p p

Для спрощення цього рiвняння запишемо його у виглядi

p p

(x + c)2 + y2 = 2a ¡ (x ¡ c)2 + y2:

Пiднiсши обидвi частини рiвняння до квадрата, дiстанемо

p

(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x ¡ c)2 + y2 ¡ 4a (x ¡ c)2 + y2;

або пiсля очевидних перетворень

p

cx ¡ a2 = ¡a (x ¡ c)2 + y2:

Тепер, пiсля пiднесення до квадрата i подальшого спрощення, матимемо

Оскiльки a > c, то a2 ¡ c2 є додатним числом. Уведемо позначення

Тодi рiвняння (57) запишеться у виглядi b2x2 + a2y2 = a2b2 або

Згiдно з означенням елiпса координати будь-якої його точки задовольняють рiвняння (56). Оскiльки рiвняння (59) є наслiдком рiвняння (56), то його також задовольняють координати довiльної точки елiпса.

Можна довести, що координати точок, якi не лежать на елiпсi, не задовольняють рiвняння (59). Отже, рiвняння (59) є рiвнянням елiпса. Воно називається канонiчним рiвнянням елiпса.

Вивчимо форму елiпса, користуючись його канонiчним рiвнянням. Зауважимо, що дане рiвняння мiстить тiльки парнi степенi x i y. Це означає, що будь-яка точка M(x; y) належить

елiпсу одночасно з точками M1(x; ¡y), M2(¡x; y) i M3(¡x; ¡y), якi симетричнi до точки M вiдносно осей Ox i Oy. Отже, елiпс

має двi взаємно перпендикулярнi осi симетрiї, якi у вибранiй системi координат збiгаються з осями координат. Осi симетрiї елiпса надалi називатимемо осями елiпса, а точку їхнього перетину – центром елiпса. Вiсь, на якiй розмiщенi фокуси (у даному випадку вiсь абсцис), називається фокальною вiссю.

Визначимо форму елiпса у першiй чвертi. Для цього розв’яжемо рiвняння (59) вiдносно y:

y = ab pa2 ¡ x2:

Очевидно, що тут 0 · x · a, оскiльки вираз пiд знаком кореня повинен бути невiд’ємним. При зростаннi x вiд 0 до a величина y зменшується вiд b до a. Частина елiпса, яка лежить у першiй чвертi, це дуга, обмежена точками B(0; b) i A(a; 0), якi лежать на осях координат. Скориставшись тепер симет-

176

Отже, шукане канонiчне рiвняння елiпса має вигляд

x2 + y2 = 1: I

25 16

Приклад 5. Скласти канонiчне рiвняння елiпса, якщо його велика пiввiсь a = 4 i вiн проходить через точку M0(2; ¡3).

J Канонiчне рiвняння елiпса при a = 4 має вигляд

Оскiльки даний елiпс проходить через точку M0, то її координати повиннi задовольняти рiвняння елiпса, тобто

Звiдси одержуємо,що b2 = 12, а тому шукане рiвняння елiпса

x2 + y2 = 1: I

16 12

Директрисами елiпса називаються двi прямi, перпендикулярнi до фокальної осi елiпса i симетрично розмiщенi вiдносно центра кривої на вiдстанi a вiд нього.

Оскiльки для елiпса ""< 1, то a" > a, а це означає, що директриси розмiщенi зовнi елiпса. Рiвняння директрис елiпса

178

Доведено [6], що вiдношення довжини фокального радiуса довiльної точки елiпса до вiдстанi цiєї точки до вiдповiдної директриси є сталою величиною, що дорiвнює ексцентриситету,

тобто r1 = " i r2 = ". d1 d2

Фокальнi радiуси точки M(x; y) елiпса можна обчислювати за формулами

r1 = a + "x; r2 = a ¡ "x:

4.4. Гiпербола. Гiперболою називається множина точок площини, абсолютна величина рiзницi вiдстаней кожної з яких вiд двох даних точок цiєї площини, якi називаються фокусами, є сталою величиною, що не дорiвнює нулю i менша вiд вiдстанi мiж фокусами.

Позначимо вiдстань мiж фокусами F1 i F2 через 2c, а сталу величину, що дорiвнює модулю рiзницi вiдстаней вiд кожної точки гiперболи до фокусiв, через 2a, причому 0 < 2a < 2c або

0 < a < c.

Як й у випадку елiпса виберемо систему координат так, щоб вiсь абсцис проходила через фокуси F1 i F2, а за початок координат вiзьмемо середину вiдрiзка F1F2. У данiй системi координат фокуси мають координати F1(¡c; 0) i F2(c; 0).

Виведемо рiвняння гiперболи у вибранiй системi координат. Згiдно з означенням гiперболи для довiльної точки M(x; y) гiперболи маємо

jMF1 ¡ MF2j = 2a

або

яке є наслiдком рiвняння (61).

Очевидно, що це рiвняння подiбне до рiвняння (57). Однак у рiвняннi (62) рiзниця a2 ¡ c2 < 0, оскiльки a < c. Тому покладемо

Воно називається канонiчним рiвнянням гiперболи. Рiвняння (64), яке є наслiдком рiвняння (61), задовольняють координати будь-якої точки гiперболи i не задовольняють координати точки, що не лежить на гiперболi.

Вивчимо форму гiперболи, користуючись її канонiчним рiвнянням. Це рiвняння мiстить лише парнi степенi, а тому гiпербола має двi осi симетрiї, якi збiгаються з координатними осями. Надалi осi симетрiї гiперболи називатимемо осями гiперболи, а точку їхнього перетину – центром гiперболи. Вiсь гiперболи, на якiй розмiщенi фокуси, називатимемо фокальною вiссю. Дослiдимо формулу гiперболи у першiй чвертi, де

Тут x ¸ a, оскiльки пiд знаком кореня повинен бути невiд’ємний вираз. При зростаннi x вiд a до = +1 величина y зростає вiд 0 до +1. Отже, частина гiперболи, яка лежить у першiй чвертi, є дуга AM, що зображена на рисунку.

Оскiльки гiпербола розмiщена симетрично вiдносно координатних осей, то ця крива має вигляд, який зображений на рис. 2. Точки перетину гiперболи з фокальною вiссю називаються її вершинами. Покладаючи y = 0 у рiвняння гiперболи, знайдемо абсциси її вершин x = §a. Отже, гiпербола має двi вершини A(a; 0) i A1(¡a; 0). З вiссю ординат гiпербола не перетинається. Справдi, поклавши в рiвняннi гiперболи x = 0,

180