vm1

де m – довiльний параметр, вiдмiнний вiд нуля.

Можна довести, що через кожну точку однопорожнинного гiперболоїда проходить по однiй прямiй з кожної iз вказаних сiмей. Отже, однопорожнинний гiперболоїд можна розглядати як поверхню, що складається з прямих. Цi прямi називають прямолiнiйними твiрними однопорожнинного гiперболоїда.

Поверхня, яка визначається рiвнянням

називається двопорожнинним гiперболоїдом. Оскiльки змiннi x, y i z входять в рiвняння у парних степенях, то координатнi площини є площинами симетрiї для двопорожнинного гiперболоїда. Якщо розглянути перерiз цiєї поверхнi координатними площинам Oxz i Oyz, то одержимо гiперболи

Якщо двопорожнинний гiперболоїд перетнути площиною z = h (jhj > c), то в перерiзi одержимо елiпс

8

<

x2 y2 h2

: a2 + b2 = c2 ¡ 1; z = h

rr

зростанням jhj. При jhj < c поверхня з площиною z = h не перетинається. Двопорожнинний гiперболоїд складається з двох окремих частин (порожнин), вiд цього й пiшла його назва. При a = b рiвняння (91) має вигляд

i є рiвнянням двопорожнинного гiперболоїда обертання. У перерiзi останнього площиною z = h (jhj > c) одержимо коло

5.7. Параболоїди. Елiптичним параболоїдом називається поверхня, яка визначається рiвнянням

за умови, що p i q мають однаковi знаки. Надалi для визначеностi вважатимемо, що p > 0, q > 0.

При перерiзi елiптичного параболоїда координатними площинами Oxz i Oyz матимемо вiдповiднi параболи

а при перерiзi площиною z = h (h > 0) – елiпс

8

<

x2 + y2 = 1; 2ph 2qh

: z = h

з пiвосями a = p2ph, b = p2qh. У випадку p = q дiстанемо

параболоїд обертання

2pz = x2 + y2:

Оскiльки x i y входять в рiвняння елiптичного параболоїда в парних степенях, то елiптичний параболоїд має двi площини симетрiї Oxz i Oyz.

Гiперболiчним параболоїдом називається поверхня, яка

за умови, що p i q мають однаковi знаки, наприклад, p > 0, q > 0.

Якщо перерiзати цю поверхню координатними площинами Oxz i Oyz, то ми дiстанемо параболи

Якщо ж перерiзати гiперболiчний параболоїд площиною z = h, то дiстанемо гiперболи

8

<

x2 ¡ y2 = 1; 2ph 2qh

: z = h; h > 0

Точка O(0; 0; 0) називається вершиною гiперболiчного параболоїда, а числа p i q – параметрами.

ням x2 + y2 + z2 ¡ x + 2y + 1 = 0.

214

4. Скласти рiвняння сфери, яка проходить через точки M1(1; 2; ¡4), M2(1; ¡3; 1) i M3(2; 2; 3), якщо її центр знаходиться в площинi Oxy.

5. Скласти рiвняння конiчної поверхнi, вершиною якої є точка

6. Знайти рiвняння поверхнi, яка одержується при обертаннi прямої x + 2y = 4, z = 0 навколо осi Ox.

7. Знайти рiвняння елiптичного параболоїда, який має вершину в початку координат, вiссю якого є вiсь Oz, якщо на його поверхнi задано двi точки M1(¡1; ¡2; 2) i M2(1; 1; 1).

8. Знайти рiвняння поверхнi, утвореної обертанням: 1) елiпса

215

Роздiл 5.

Елементи лiнiйного програмування

У багатьох прикладних задачах виникають ситуацiї, коли досягнути певної мети можна не одним, а багатьма рiзними способами, i для прийняття обгрунтованого рiшення необхiдно опрацювати велику кiлькiсть iнформацiї. Очевидно, що це рiшення повинно бути найкращим. Математично задачi такого типу, а це в основному задачi управлiння i планування, зводяться до знаходження найбiльшого або найменшого значення деякої функцiї f = f(x1; x2; : : : ; xn), яка називається цiльовою функцiєю або функцiєю мети:

При цьому змiннi x1, x2, : : :, xn визначенi в певнiй областi - ½ Rn, яка описується нерiвностями:

нi числа. Нерiвностi (2) називаються обмеженнями задачi. До числа обмежень задачi, як правило, входить також умова невiд’ємностi змiнних:

(x01; x02; : : : ; x0n) 2 -, що f(x01; x02; : : : ; x0n) ¸ f(x1; x2; : : : ; xn) (f(x01; x02; : : : ; x0n) · f(x1; x2; : : : ; xn)) для всiх (x1; x2; : : : ; xn) 2

Задачi типу (1), (2), (3) називають задачами математичного програмування.

Вигляд функцiй f, g1, g2, : : :, gm визначає тип задачi математичного програмування. Найпростiшим i таким, що часто зустрiчається є випадок, коли всi цi функцiї є лiнiйними. Таку задачу називають лiнiйною задачею математичного програмування. Для розв’язування цих задач розробленi ефективнi методи, одним iз яких є симплексний метод. Якщо ж принаймнi одна з функцiй f, g1, g2, : : :, gm є нелiнiйною, то задача (1), (2), (3) називається задачею нелiнiйного програмування. На сьогоднi вiдсутнi загальнi й достатньо ефективнi методи розв’язування задач нелiнiйного програмування. Лише для певного класу нелiнiйних задач розробленi достатньо ефективнi методи.

§1. Постановка задачi лiнiйного програмування

Лiнiйне програмування – це наука про методи знаходження найбiльшого або найменшого значення лiнiйної функцiї, незалежнi змiннi якої задовольняють певнi лiнiйнi обмеження. При цьому лiнiйна функцiя називається цiльовою, а обмеження, якi описуються у виглядi рiвнянь або нерiвностей, називаються системою обмежень.

Лiнiйне програмування широко використовується в економiцi при розв’язуваннi задач управлiння, рацiонального планування, органiзацiї виробництва i т.п. Воно також застосовується при рацiональному виборi параметрiв технiчних пристроїв i, зокрема, при створеннi рiзних систем автоматизованого управлiння.

Задача лiнiйного програмування – це математична модель певної економiчної або технiчної задачi. При складаннi математичної моделi задачi необхiдно: 1) ввести незалежнi (керованi) змiннi; 2) виходячи з мети дослiджень, визначити цiльову функцiю; 3) враховуючи обмеження на параметри задачi та їхнi кiлькiснi величини, записати систему обмежень.

217

1.1. Приклади задач лiнiйного програмування.

Приклад 1 (задача про використання сировини або планування виробництва). Для виготовлення двох видiв продукцiї P1 i P2 використовують чотири типи сировини. Запаси сировини, кiлькiсть одиниць сировини, що витрачається на виготовлення одиницi продукцiї, а також величина доходу, одержувана вiд реалiзацiї одиницi продукцiї наведенi в таблицi

Треба скласти математичну модель задачi знаходження плану випуску продукцiї, щоб при її реалiзацiї одержати максимальний доход.

J Позначимо через xj, j 2 f1; 2g; кiлькiсть одиниць продукцiї Pj, j 2 f1; 2g. Тодi, враховуючи кiлькiсть одиниць сировини, що витрачається на виготовлення одиницi продукцiї, а також запаси сировини, дiстанемо систему обмежень

яка стверджує, що кiлькiсть сировини, яка витрачається на виготовлення продукцiї, не повинна перевищувати запасiв сировини. Якщо продукцiя Pj не випускається, то xj = 0, j 2 f1; 2g, а якщо випускається, то xj > 0, j 2 f1; 2g. Отже, одержуємо знаковi обмеження на невiдомi x1, x2:

x1 ¸ 0; x2 ¸ 0:

218

Треба скласти математичну модель формування добового рацiону потрiбної поживностi при мiнiмальних витратах на нього.

J Нехай xj – кiлькiсть одиниць корму Pj, j 2 f1; 2g, яку треба придбати для органiзацiї добового рацiону. Тодi з умови задачi випливає, що повиннi виконуватись обмеження:

Якщо корм P1 не використовується в рацiонi, то x1 = 0, а коли використовується, то x1 > 0. Аналогiчно маємо, що x2 ¸

0. Отже, x1 ¸ 0, x2 ¸ 0.

Нашою метою є добитися мiнiмальних витрат при складаннi добового рацiону. Оскiльки сумарна вартiсть рацiону f = 4x1 + 6x2, то цю функцiю треба дослiдити на мiнiмум.

Отже, математична модель задачi така:

Зауважимо, що подiбний вигляд мають задачi визначення складу сплавiв, сумiшей пального, сумiшей мiнеральних добрив i т.п. I

Приклад 3 (транспортна задача). У пунктах A1, A2,

A3 розмiщенi кар’єри, якi видобувають глину, а в пунктах B1,

220