Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vm1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

J Згiдно з формулою (19) маємо

cos ' =	5 ¢ 3 + 3 ¢ 2 + (¡2) ¢ 5	=	11

	p52 + 32 + (¡2)2p32 + 22 + 52		38
	p52 + 32 + (¡2)2p32 + 22 + 52		38

або ' = arccos 1138. I

2.2.4. Пряма як лiнiя перетину площин. Пряму в просторi можна визначити як лiнiю перетину двох непаралель-

них площин A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (P1) i A2x + B2y + C2z +

D2 = 0 (P2), тобто як множину точок, координати яких задовольняють систему двох лiнiйних рiвнянь

½	A1x + B1y + C1z + D1 = 0;	(22)
	A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

Правильне й обернене твердження: система двох незалежних лiнiйних рiвнянь (22) визначає пряму як лiнiю перетину площин (якщо вони не паралельнi). Рiвняння (22) називаються загальними рiвняннями прямої.

Приклад 12. Скласти канонiчнi рiвняння прямої, що задана

загальними рiвняннями

½ 2x ¡ 5y + z + 4 = 0; x + 2y ¡ z + 2 = 0:

J Знайдемо спочатку параметричнi рiвняння прямої. Для цього розв’яжемо дану систему вiдносно y i z:

5y + z = ¡2x ¡ 4;

¡2y ¡ z = ¡x ¡ 2;

¡ x

¡2

¡ x

¡2

= 3x + 6:

y = ¯

= x + 2; z = ¯

¡5

¡ ¡

5 1

Отже, x = t, y = t + 2, z = 3t + 6 – параметричнi рiвняння прямої. Тодi канонiчнi рiвняння прямої такi:

x = y ¡ 2 =		z ¡ 6; s		= (1; 1; 3):
			¡!		I
1	1	3	¡!		I
1	1	3
		151

Приклад 13. Знайти координати точки M, що дiлить навпiл

вiдрiзок прямої

x ¡ 2 = y + 1 = z ¡ 3; 3 5 ¡1

який мiститься мiж площинами Oxz i Oxy.

J Знайдемо точку перетину даної прямої з площиною Oxz. Для цього пiдставимо y = 0 у рiвняння прямої

або

x¡2

= 51 ;

¡1

z¡¡13

Звiдси випливає, що x = 135 , z = 145 . Отже, точкою перетину прямої з площиною Oxz є точка M1(135 ; 0; 145 ).

Аналогiчно, пiдставивши z = 0 у рiвняння прямої, дiстанемо точку перетину прямої з площиною Oxy:

x ¡ 2	=	y + 1	= 3 або	x ¡ 2 = 9;
3
	5			½ y + 1 = 15;

звiдки x = 11, y = 14, z = 0. Точка перетину прямої з площиною

Oxy – M2(11; 14; 0).

Знайдемо координати точки M(x; y; z), що є серединою вiдрiзка

M1M2:
x =	13=5 + 11				=			34	; y =	0 + 14	= 7; z =	14=5 + 0	=	7	:

		2						5		2		2		5
		2						5		2		2		5
Отже, M³		34		; 7;	7		´. I

			5			5

2.2.5.Вiдстань вiд точки до прямої у просторi. Нехай

єпряма L: x¡mx0 = y¡ny0 = z¡pz0 i точка M1(x1; y1; z1) поза нею. Доводиться, що вiдстань вiд даної точки до прямої знаходиться

за формулою

d =

(23)

¡ y0 z1

¡ z0

¡ z0 x1

¡ x0

¡ y0

¯ ¯

m2 + n2

+ p2

¯ ¯

Приклад 14. Знайти p

(1; 1;

2) до пря-

вiдстань вiд точки M

мої

x + 3

y + 2

z ¡ 8

¡2

152

J Скористаємося формулою (23):

¯ ¡ 2

d =

1 + 3 ¡1 + 2

1 + 2 2 ¡ 8

+ ¡2 ¡ 8 1 + 3

¯ ¯32

+ 22 + (

2)2

¯ ¯

¯ 2

¡ 2

¯ ¡ 2 3 ¯

+ ¯

3 2

¯ ¡

¯ p17

p17

= 7:

182 + (¡22)2 + 52

833

2.3. Взаємне розмiщення прямої i площини у просторi.

2.3.1. Умови паралельностi й перпендикулярностi прямої й площини. Розглянемо пряму

	x ¡ x0	=	y ¡ y0	=	z ¡ z0	(L)	(24)
	m		n		p

i площину
	Ax + By + Cz + D = 0					(P ):	(25)

Очевидно, що пряма L i площина P :

1)паралельнi тодi й тiльки тодi, коли напрямний вектор

s = (m; n; p)

n = (A; B; C)

¡!

прямої i нормальний вектор !¡

площини перпендикулярнi, тобто

Am + Bn + Cp = 0;

(26)

s =

2) перпендикулярнi тодi й тiльки тодi, коли вектори ¡!

n = (A; B; C)

колiнеарнi, тобто

(m; n; p) i ¡!

(27)

153

Приклад 15. Написати рiвняння площини, що проходить через дану точку M0(2; ¡3; 4) паралельно до прямих

y ¡ 1

z ¡ 3

x + 1

y ¡ 1

z + 5

¡!

J Нехай n = (A; B; C) – нормальний вектор шуканої площини P . Тодi рiвняння площини матиме вигляд

A(x ¡ 2) + B(y + 3) + C(z ¡ 4) = 0:

(28)

Оскiльки площина P паралельна прямим L1 i L2, то її нормаль-

n = (A; B; C)

перпендикулярний до напрямних векторiв

ний вектор ¡!

= (1; 2; 8)

= (4; 0; 2)

¡!1

i ¡!2

прямих

1 i

, тобто є їхнiм векторним

добутком.

Отже,

!¡ 2

1 2

¡!

0 2

¡!

4 2

!¡ ¡!1

¡!i

¡!

¯ ¡

n = [ s ; s ] =

= i

2 8

1 8

¡! ¯

4 0

¯ = 4¡!i + 30¡! ¡ ¡!

тобто A = 4, B = 30, C¯

8 k ;

+ k

Пiдставивши знайденi коефiцiєнти в (28), дiстанемо рiвняння шу-

каної площини

4(x¡2)+30(y +3)¡8(z ¡4) = 0

або 2x+15y ¡4z +57 = 0: I

2.3.2. Перетин прямої з площиною. Щоб знайти точку перетину прямої L i площини P , треба розв’язати систему рiвнянь (24), (25).Для цього запишемо рiвняння прямої L у параметричнiй формi

x = x0 + mt; y = y0 + nt; z = z0 + pt

(29)

i пiдставимо (29) у рiвняння (25). Тодi одержимо, що

A(x0 + mt) + B(y0 + nt) + C(z0 + pt) + D = 0

або

t(Am + Bn + Cp) = ¡(Ax0 + By0 + Cz0 + D):

154

= z¡2 5

x¡1 2

= y+13

Звiдси, якщо Am + Bn + Cp =6 0, тобто нормальний вектор

¡!

площини P не перпендикулярний до напрямного вектора s прямої L, то iснує єдиний розв’язок цього рiвняння

t0 = ¡Ax0 + By0 + Cz0 + D :

Am + Bn + Cp

Пiдставивши це значення t = t0 у (29), одержимо координати точки перетину прямої L i площини P .

¡! ¡!

Якщо Am + Bn + Cp = 0, тобто n ? s , то можливi два

випадки: 1) Ax0+By0+Cz0+D 6= 0, тобто точка (x0; y0; z0) 62P , то значення t не можна визначити, а це означає, що пряма L

i площина не перетинаються; 2) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, тобто точка (x0; y0; z0) 2 P , то рiвняння для знаходження t має безлiч розв’язкiв, а це означає, що пряма L лежить в площинi P ; i тому всi точки цiєї прямої є точками перетину прямої L i

площини P .

Приклад 16. Знайти точку перетину прямої iз площиною 2x + 3y ¡ 2z + 2 = 0.

J Запишемо рiвняння прямої в параметричнiй формi x = 2t + 1, y = 3t ¡ 1, z = 2t + 5. Пiдставивши цi вирази в рiвняння площини, дiстанемо

2(2t + 1) + 3(3t ¡ 1) ¡ 2(2t + 5) + 2 = 0 або t = 1.

Тодi координати точки перетину прямої та площини x = 2¢1+1 = 3, y = 3 ¢ 1 ¡ 1 = 2, z = 2 ¢ 1 + 5 = 7, тобто точкою перетину прямої i площини є M(3; 2; 7) I.

2.3.3. Кут мiж прямою i площиною. Розглянемо пряму L, яка визначається рiвнянням (24), i площину P , рiвняння якої (25). Знайдемо кут Ã мiж прямою L i площиною P . Очевидно, що ' + Ã = ¼2 , тому cos ' = cos(¼2 ¡ Ã) = sin Ã. Оскiльки

!¡ ¡!

Am + Bn + Cp

cos ' =

;

то

j!¡ j j!¡ j

+ B

+ C

+ n

+ p

sin Ã =

Am + Bn + Cp

(30)

A2 + B2 + C2

m2 + n2 + p2

155

x ¡ y + z = 0;

x + 2y + 2z ¡ 2 = 0;

~n = (A; B; C)

6	Á~s = (m; n; p)
'
	Ã
	P

Приклад 17. Знайти кут мiж прямою L i площиною P , якщо пряма й площина заданi вiдповiдно рiвняннями:

(L) 2x ¡ 5y + z ¡ 2 = 0 (P ):

J Для того щоб записати канонiчнi рiвняння прямої L, розв’яжемо систему

½x ¡ y = ¡z;

x + 2y = 2 ¡ 2z:

Маємо

2z + 2 2

z +

; y =

2z + 2

x = ¯

¡z

¡1

¡z

¡3

¡3 3

Якщо взяти z = ¡3t, то дiстанемо параметричнi рiвняння прямої:

x = 4t +

; y = t +

; z = ¡3t;

t 2 R:

Тодi канонiчнi рiвняння даної прямої такi:

x ¡ 2=3

y ¡ 2=3

¡3

Тому, згiдно з (30), маємо

sin Ã =

2 ¢ 4 ¡ 5 ¢ 1 + 1 ¢ (¡3)

= 0;

22 + ( 5)2 + 12

+ 12

p30

p26

+ (¡3)

а, отже, Ã = 0

. I

156

				Вправи
	1.	Знайти	рiвняння	площини, яка	проходить	через	точку
M0	(3;	¡2; ¡7) паралельно площинi 2x ¡ 3z + 5 = 0.
	2.	Знайти	рiвняння	площини, яка	проходить	через	точки
M1	(2; ¡1; 4) i M2(3; 2; ¡1) перпендикулярно до площини x+y+z¡3 =
0.	3.	Знайти	рiвняння	площини, яка	проходить	через	точку
	3.	Знайти	рiвняння	площини, яка	проходить	через	точку
M0	(2; ¡3; ¡4) i вiдтинає на координатних осях вiдрiзки однакової
довжини.

4.Знайти кут мiж площинами: 1) 2x ¡ 3y + 3z ¡ 1 = 0 i ¡2x + 3y ¡ 3z + 5 = 0; 2) 3x ¡ 4y ¡ z ¡ 1 = 0 i 2x + 3y ¡ 6z ¡ 2 = 0.

5.Обчислити вiдстань d вiд точки M0(¡1; 1; ¡2) до площини, яка проходить через точки M1(1; ¡1; 1), M2(¡2; 1; 3) i M3(4; ¡5; ¡2).

6.Знайти вiдстань мiж площинами 2x + 2y ¡ z ¡ 15 = 0 i 4x + 4y ¡ 2z + 11 = 0.

7.Знайти точку перетину площин x+2y¡z¡2 = 0, 3x¡y¡z¡3 = 0 i x + 2y + z ¡ 4 = 0.

8.Скласти параметричнi рiвняння прямої, яка проходить через двi заданi точки M1(1; 1; ¡2), M2(3; ¡1; 0).

9.Знайти канонiчнi та параметричнi рiвняння прямої 2x + 3y ¡ z ¡ 4 = 0, 3x ¡ 5y + 2z + 1 = 0.

10.Знайти гострий кут мiж прямими

x ¡ 3

y + 2

x + 2

y ¡ 3

z + 5

¡1

p2;

p2 .

11. Для якого значення m пряма

x + 1

y ¡ 2

z + 3

пара-

лельна площинi x ¡ 3y + 6z + 7 = 0?

¡2

x ¡ 1

y + 1

12. Знайти точку перетину прямої

i площини

2x + 3y + z ¡ 1 = 0.

x ¡ 1

¡2

i площиною x +

13. Знайти кут мiж прямою

2y + 2z + 3 = 0.

¡2

x + 3

14. Знайти вiдстань вiд точки M1(1; ¡1; ¡2) до прямої

y + 2

z ¡ 8

¡2

15. Знайти канонiчнi й параметричнi рiвняння прямої, що утво-

2¼

рює з осями координат кути ® =

, ¯ =

, ° =

i проходить через

точку M0(¡1; 0; 5).

157

16. Записати рiвняння площини, яка проходить через точку

1; 2;

перпендикулярно до прямої

x + 2 = y ¡ 1 = z + 3

17. Знайти проекцiю M1 точки M(5; 2; ¡1) на площину 2x ¡ y +

3z + 23 = 0.

x ¡ 1

18. Знайти проекцiю N точки M(4; 3; 10)

на пряму

y ¡ 2

z ¡ 3

проходить

через

точку

19. Скласти рiвняння прямої, яка

M0(3; 2; ¡1) i перетинає вiсь Ox пiд прямим кутом.

20. Записати рiвняння прямої, яка паралельна осi Oy i проходить

через точку M0(1; ¡1; 2).

Вiдповiдi

1. 2x ¡ 3z ¡ 27 = 0. 2. 4x ¡ 3y ¡ z ¡ 7 = 0. 3. x + y + z + 5 = 0.

4. 1)

¼ . 5. d = 4. 6. d = 6

. 7. µ

; 7; 1¶. 8. x = t + 3,

x ¡ 1

z + 2

y = t

z = t

2 R. 9.

;

x =

¡7

t + 1,

¡ ¡

¡19

y =

¡7t, z =

¡19t + 2,

t 2

10. 60

11. m = ¡3.

12.

(2;

3; 6)

13.

. 14.

. 15.

x + 1

z ¡ 5

x = t

y =

¡1

t, z

5 ¡ t,

t 2 R.

16. 4x + 3y + 2z + 4 = 0.

17. M1(1; 4; ¡7).

18. N(3; 6; 8).

19.

x ¡ 3

y ¡ 2

z + 1

20.

x ¡ 1

y + 1

z ¡ 2

або

x ¡ 1 = 0;

¡2

½ z ¡ 2 = 0:

158

§3. Пряма на площинi

3.1. Нормальний вектор прямої. Рiвняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора. З попереднього параграфа вiдомо, що пряму в просторi можна задати як перетин двох площин. Розглянемо частинний випадок, коли одна з площин z = 0, тобто пряма розглядається на площинi Oxy:

½ Ax + By + Cz + D = 0; (31) z = 0:

Якщо у перше рiвняння пiдставити z = 0, то дiстанемо систему

½ Ax + By + D = 0; (32) z = 0:

що визначає пряму перетину координатної площини Oxy площиною Ax + By + D = 0, яка паралельна осi Oz.

¡!

Нормальний вектор n = (A; B; 0) площини Ax+By+D = 0 одночасно є нормальним вектором прямої, що задана системою (32).

Якщо наперед вiдомо, що пряма розглядається на площинi Oxy, то друге рiвняння системи (32) опускається.

Отже, пряма в R2 визначається одним рiвнянням

Ax + By + C = 0;

яке називається загальним рiвнянням прямої на площинi, якщо коефiцiєнти A i B не дорiвнюють нулю одночасно. Ми замiнили в позначеннях D на C для зручностi.

¡!

Вектор n = (A; B) називається нормальним вектором

прямої на площинi.

Можна вивести рiвняння прямої на площинi iншим способом.

Розглянемо пряму L на площинi. Нехай M0(x0; y0) деяка

¡!

її точка, а n = (A; B) ненульовий вектор, перпендикулярний цiй прямiй, тобто нормальний вектор даної прямої. Точка M0

159

¡!

i нормальний вектор n повнiстю визначають положення пря-

мої L на площинi. Вiзьмемо довiльну точку M(x; y) прямої L.
	¡¡¡!	¡	x0	; y	¡	y0) перпендикулярний
За умовою вектор M0M = (x
¡!	!¡	¡¡¡!				або
вектору n = (A; B), тобто n M0M = 0
	A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) = 0:						(33)
	y 6

~n = (A; B)

IM(x; y)

OM0(x0; y0) -x

Одержане рiвняння задовольняють координати довiльної точки M(x; y) прямої L. Якщо деяка точка M1(x1; y1) не ле-

жить на прямiй L, то її координати не задовольняють рiвняння

¡! ¡¡¡¡!

(33), оскiльки в цьому випадку n M0M1 =6 0. Отже, рiвняння (33) є рiвнянням прямої L. Воно називається рiвнянням прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно

до заданого вектора.

Приклад 1. Знайти рiвняння прямої, що проходить через точ-

¡!

ку M0(¡1; 3) перпендикулярно до вектора n = (2; ¡5).

J Скористаємося рiвнянням (33), де A = 2, B = ¡5, x0 = ¡1,

y0 = 3:

2(x + 1) ¡ 5(y ¡ 3) = 0

або

2x ¡ 5y + 17 = 0: I

3.2.Точка перетину прямих. Побудова прямої за

їїрiвнянням. Нехай задано двi прямi A1x + B1y + C1 = 0

(L1) та A2x + B2y + C2 = 0 (L2) i треба знайти точку їхнього перетину. Оскiльки ця точка належить кожнiй з двох заданих

прямих, то її координати повиннi задовольняти як рiвняння першої прямої, так i рiвняння другої прямої.

160

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.2016195.29 Кб463Vidpovidi_ne_derzh_ekzamen_z_zarubizhnoyi_literaturi.docx
#
04.08.2019293.89 Кб14vidpovidi_psihologiya_movlennya.doc
#
05.09.2019116.32 Кб18vidpovidi_verstka.docx
#
30.08.201972.19 Кб2Vidy_narkoticheskikh_veshestv.doc
#
09.08.2019171.01 Кб2Vijdij_trydovogo_dogovory.doc
#
28.02.20161.73 Mб28vm1.pdf
#
28.02.201673.73 Кб8Vstup_do_spetsializatsiyi_dlya_studentiv.doc
#
28.02.2016309.37 Кб15Vstup_do_spetsialnosti.docx
#
28.02.201678.4 Кб52Vstup_do_spetsialnosti.docx
#
28.02.201674.24 Кб19Vstup_do_spetsialnosti.docx
#
01.05.2019260.1 Кб3VYBYRKA_01_05_10 (12 кегль).doc