Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vm1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Отже, у просторi базис складається з трьох довiльних лiнiйно незалежних векторiв.

1.6. Подiл вiдрiзка в даному вiдношеннi. Нехай треба вiдрiзок M1M2 подiлити у вiдношеннi ¸ > 0. Це означає, що треба знайти на даному вiдрiзку точку M, для якої M1M :

MM2 = ¸, або M1M = ¸MM2.

	3M2	Нехай точки M1 i M2 мають вiдповiдно
	3M2	координати M1(x1; y1	; z1) i M2(x2; y2; z2).
3M		координати M1(x1; y1	; z1) i M2(x2; y2; z2).
3M		Знайдемо координати точки M(x; y; z).
		¡¡¡!	¡¡¡!	або (x
		Очевидно, що M1M = ¸MM2		або (x
				¡
M1		x1; y ¡ y1; z ¡ z1) = (¸(x2 ¡ x); ¸(y2 ¡ y);
		¸(z2 ¡ z)).

Звiдси випливає, що x ¡ x1 = ¸(x2 ¡ x), y ¡ y1 = ¸(y2 ¡ y), z ¡ z1 = ¸(z2 ¡ z), тобто

x =	x1 + ¸x2	;	y =	y1 + ¸y2	;	z =	z1 + ¸z2	:	(15)

1 + ¸			1 + ¸			1 + ¸

Якщо точка M є серединою вiдрiзка M1M2, то M1M = MM2 i, отже, ¸ = 1. У цьому випадку рiвностi (15) набудуть вигляду

x =	x1 + x2	;	y =	y1 + y2	;	z =	z1 + z2	:	(16)

2			2			2

Приклад 7. Дано точки M1(1; 2), M2(3; 4). Подiлити вiдрiзок M1M2 у вiдношеннi ¸ = 12 .

J Оскiльки x1 = 1, y1 = 2; x2 = 3, y2 = 4, то згiдно з формулами (15) маємо

x =	1 + 21 ¢ 3		=	5	; y =	2 + 21 ¢ 4	=	8	:

				3		1 + 1		3
	1 +	1		3		1 + 1		3
		2				2
Отже, точка M(5 ; 8 ) дiлить вiдрiзок M1M2 у вiдношеннi
¸ = 21 . I	3	3
¸ = 21 . I
					111

				Вправи
	1.	Дано точки A(3; ¡1; 2) i B(¡1; 2; 1). Знайти координати век-
торiв		¡¡! i	¡¡!.
		AB	BA		~
~					~
~	2. Знайти лiнiйну комбiнацiю векторiв 3~a + 4b ¡~c, де ~a = (4; 1; 3),
b = (1; 2; ¡2), ~c = (10; 8; 1).
			~	~	~
	3. Дано j~aj = 13, jbj = 19, j~a + bj = 24. Знайти j~a ¡ bj.
	4.				~
	4.	Для яких значень ® i ¯ вектори ~a = (¡4; 6; ¯) i b = (®; ¡3; 2)
колiнеарнi?				A(¡1; 5; ¡10),	B(5; ¡7; 8), C(2; 2; ¡7) i
	5.	Дано чотири точки		A(¡1; 5; ¡10),	B(5; ¡7; 8), C(2; 2; ¡7) i

¡¡! ¡¡!

D(5; ¡4; 2). Перевiрити, чи вектори AB i CD колiнеарнi; знайти який

з них довший i у скiльки разiв, як вони напрямленi – в один чи в протилежнi боки.

6. Знайти початок вектора ~a = (2; ¡3; ¡1), якщо його кiнець збiгається з точкою (1; ¡1; 2).

7. На площинi дано три вектори ~a = (3; ¡2), b = (¡2; 1) i ~c = (7; ¡4). Знайти розклад кожного з цих векторiв, беручи за базис два iнших.

8. Вектор ~x колiнеарний вектору ~a = (6; ¡8; ¡7; 5) i утворює з вiссю Oz гострий кут. Знаючи, що j~xj = 50, знайти його координати.

~~ ~

9.Знайти j~a + bj i j~a ¡ bj, якщо ~a = (3; ¡5; 8) i b = (¡1; 1; ¡4).

10.Знайти орт вектора ~a = (6; ¡2; ¡3).

11.

, причому j~aj = 5 i

Вектори ~a i b утворюють кут ' = 60

jbj = 8. Знайти j~a + bj i j~a ¡ bj.

¡!

j + k

1 (4 i

+ 8 j +

k )

+ 2¡!

¡!

!¡

3¡!

12.

Обчислити модуль вектора a = ¡!i

¡!

i знайти його напрямнi косинуси.

13.

Дано точки M1(2; 4; ¡2) i M2(¡2; 4; 2). На прямiй M1M2 знай-

ти точку M, що дiлить вiдрiзок M1M2 у вiдношеннi ¸ = 3.

!¡

= 4¡!i

j + 3 k

!¡

14.

Дано вектор a

2!¡

¡!. Знайти вектор ¡!, якщо

¡!

, прOx¡!

= 0

, прOy¡!

прOy

!¡ .

b =

a =

15.

Знайти проекцiю вектора ¡!

на осi координат, якщо ¡!

¡¡! ¡¡!, де

A(0; 0; 1)

B(3; 2; 1)

C(4; 6; 5)

AB + CD

D(1; 6; 3)

K(7; 8),

16.

Дано координати середин

сторiн

трикутника

M(¡4; 5), N(1; 4). Визначити координати вершин трикутника.

17.

Вершини

трикутника

знаходяться

точках A(3; ¡5),

B(¡3; 3), C(¡1; ¡2). Визначити довжину бiсектриси його внутрiшнього кута, проведеної з вершини A.

18. Знайти координати точки перетину медiан трикутника, якщо його вершинами є точки A(7; 4), B(¡1; 8), C(¡12; ¡1).

112

Вiдповiдi

1. ¡¡!

, ¡¡!

. 2. (6; 3; 0). 3.

AB = (

4; 3;

BA = (4;

3; 1)

= 22

4. ®

= 2,

Вектор

j ¡

век-

¡¡!

у два рази довший

за

; 2; 3). 7.

~a = 2b + ~c

тор ¡¡!, вони напрямленi в один бiк. 6. (

b =

~a ¡

~c, ~c

= ~a ¡ 2b.

(¡24; 32; 30).

9. j~a + bj = 6,

j~a ¡ ~bj = 14.

10. ~a0

µ7

; ¡7; ¡

7¶. 11. j~a + ~bj = p129, j~a ¡ ~bj =

7. 12. j!¡ j

3. 13.

cos ® =

cos ¯ =

cos ° =

1; 4; 1)

14. ¡!

¡!

або !¡

¡! ¡

!¡ . 15. прOx¡!

, прOy

¡!

b =

2 j + 5 k

b = 2 i

5 k

a = 0

a =

14p

16.

A(2; 17)

B(12;

10;

17.

2, прOz!¡

¡ .

¡ ,

18. M(¡2; 1).

113

§2. Скалярний, векторний i мiшаний добутки

2.1. Скалярний добуток двох векторiв. Косинус кута

мiж двома векторами. Скалярним добутком векторiв

¡! ¡!

a i b називається число, яке дорiвнює добутку довжин цих

векторiв на косинус кута ' мiж ними. Позначається скалярний

¡!¡! ¡! ¡! ¡! ¡!

добуток символом a b або a ¢ b , або ( a ; b ). Тому

!¡

j¡!jj

¡!

cos ':

Оскiльки ¡!

пр

¡!,

¡!

пр

, то

cos ' =

¡!

!¡

(17) випливає, що

!¡

¡!

!¡ пр

!¡

¡!

пр

або

!¡

b =

¡!

b =

¡!

a :

Звiдси знаходимо, що

¡!

!¡

¡!

пр a

¡!

пр

¡!

!¡

;

¡!

j¡!j

j!¡ j

(17)

з рiвностi

Скалярний добуток двох векторiв має властивостi:
1)	a	!¡	¡!		;
	¡!	b		¡!
2)			= b a				¡!			¡! ;
	¸( a ¡!					¡!		!¡
	¡!
3)			b ) = (¸ a ) b = a (¸ b )
	( a + !¡			¡!		¡!!¡		¡!		;
	¡!							+ b	¡!
			b ) c		= a c				c

4) якщо скалярний добуток двох векторiв дорiвнює нулю, то дорiвнює нулю або один iз цих векторiв, або косинус кута мiж ними, тобто вектори ортогональнi. Навпаки, якщо нену-

¡! ¡!

льовi вектори a ? b , то cos ' = 0, i, отже, скалярний добуток

векторiв дорiвнює нулю. Тому два ненульовi вектори перпендикулярнi тодi й тiльки тодi, коли їхнiй скалярний добуток дорiвнює нулю.

Очевидно, що	j¡!jj!¡ j					j¡!jj!¡ j		j¡!j
!¡ ¡!	j¡!jj!¡ j					j¡!jj!¡ j		j¡!j	2;
a a =	a a	cos 0 =				a a	=	a	2;
тобто	¡!		2		j¡!j
	a		2	=	a	2:			(18)
				114

Приклад 1. Дано вектор

¡!

= 2 a + 3¡!, причому

= 4

= 5

600

. Кут

дорiвнює

j!¡ j

мiж векторами !¡

i ¡!

. Знайти модуль

вектора ¡!.

J Скориставшись рiвнiстю (18), дiстанемо

p!¡

j¡!j

¡!

¡!¡!

!¡

(2¡!

¡!

= c

2 =

a + 3 b )2 = 4 a 2 + 12 a b + 9 b

Маємо, що

¡!

j!¡ j

¡!

j!¡ j

2 =

= 42 = 16; b

2 = 52 = 25;

cos ' = 4

cos 600 = 4

5 1 = 10:

¡!

j!¡ jj j

¢ ¢

Тому

= p4

16 + 12

10 + 9

25 = p409:

j¡!j

ти.

Запишемо скалярний добуток векторiв через їхнi координа-

Нехай

a = (x1; y1; z1), ¡!

або

¡!

b = (x ; y ; z )

z1 k; ¡!

a = x i + y j +

. Тодi

b = x

i + y

j + z

¡!

b = (x i

+ y1 j + z1 k)(x2 i + y2 j + z2 k) = x1x2 i i + x1y2 i j+

a !¡

~ ~

+x1z2 i k+y1x2 j i+y1y2 j j+y1z2 j k+z1x2 k i+z1y2 k j+z1z2 k k:

~ 2

~ ~

~ 2

= 1

~ ~

Оскiльки

= 1 j j =

k k =

= 1 i j =

i i

j i = 1 ¢¼ 1 cos 2

= 0,

i k = k i = 1 ¢ 1 cos 2

= 0,

j k = k j =

1 ¢ 1 cos 2

= 0, то

¡!

(19)

!¡

b = x x + y y + z z :

¡! ¡!

Якщо скористатися (19), то отримаємо, що вектори a i b ортогональнi тодi й тiльки тодi, коли

				x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0:		(20)
	Приклад 2. При якому значеннi m вектори ¡!				= (2; 3;	¡	1)	i
b = (1;			5; m)	a	= (2; 3;		1)
b = (1;		¡	5; m)	перпендикулярнi?
¡!		¡		перпендикулярнi?

J З умови (20) випливає, що

2 ¢ 1 + 3(¡5) + (¡1)m = 0;

115

звiдки одержуємо, що m = ¡13.

¡! ¡!

Отже, вектори a i b перпендикулярнi, коли m = ¡13. I

З формули (17) дiстаємо, що у випадку ненульових векторiв
a i	¡!
¡!	b		a !¡
	b		a !¡
		cos ' =	¡!	b		:
				b
			a	b
			a	!¡	j
			j¡!jj		j

Якщо скористатися формулою (19), то звiдси знаходимо, що

cos ' =

x1x2 + y1y2

+ z1z2

(21)

x12 + y12 + z12

x22 + y22 + z22

Приклад 3. Обчислити косинус кута мiж векторами

¡!

(3; 1; 1) i

¡!

= (2; 2; 1)

a =

J Згiдно з формулою (21)

cos ' =

3 ¢ 2 + 1 ¢ 2 + (¡1) ¢ 1

0; 703:

p32 + 12 + (¡1)2p22 + 22 + 12

3p11

2.2. Векторний добуток. У пунктi 2.1 вивчено скалярний добуток двох векторiв, тобто добуток векторiв результатом якого є число. Тут ми розглянемо такий добуток векторiв,

коли результатом є вектор.				R
¡!		¡!	в просторi		називатимемо впоряд-
	b	c		3
Три вектори a , ¡!,

кованою трiйкою або просто трiйкою, якщо вказано, який з цих векторiв є першим, який – другим i який – третiм. Напри-

¡!			!¡
клад, запис ( a ;		b ; c )		означає, що першим елементом трiйки
клад, запис ( a ;		¡!		означає, що першим елементом трiйки
є a , другим –	¡!, а третiм – .
!¡	b			¡!
	b			c	!¡		¡!
					!¡	b	¡!	називаються компла-
						b	c
Нагадаємо, що три вектори a , !¡ ,

нарними, якщо вони лежать в однiй площинi. Впорядкована

¡! ¡! ¡!

трiйка некомпланарних векторiв ( a ; b ; c ) називається пра-

вою (лiвою), якщо знаходячись всерединi тригранного кута, що утворений цими векторами, зведеними до спiльного почат-

ку, ми бачимо поворот на найменший кут вiд				¡!	b		b
ку, ми бачимо поворот на найменший кут вiд				a до ¡! i вiд ¡!
c
до ¡!, що здiйснюється проти стрiлки годинника (за стрiлкою
	b ;	c )		¡!	b ;	¡!
					b ;	c )	, а на
годинника). На рис. 1 зображено праву трiйку ( a ; ¡!							, а на
¡!	¡!	¡!	. Вiдзначимо, що коли вектори
рис. 2 – лiву трiйку ( a ;	¡!		. Вiдзначимо, що коли вектори
		116

¡! ¡! ¡!

a , b , c є компланарними, то для них втрачає змiст поняття правої й лiвої трiйок.

6 c			6¡!
	¡!		c		a
	¡!				a
	*	¡!		* ¡!
		b
		z		z	b
			Рис. 2


Рис. 1		¡!			¡!
		a

Якщо двi трiйки векторiв є правими або лiвими, то їх називатимемо однаково орiєнтованими. В iншому випадку нази-

ватимемо цi трiйки протилежно орiєнтованими. Очевидно,

!¡ ¡! ¡!

що з трьох заданих векторiв a , b , c можна утворити шiсть упорядкованих трiйок:

( a ;	¡!	¡!	¡!	¡! ¡!
¡!
	b ; c );		( b ; c ; a );
(¡!	¡! ¡!		¡! ¡! ¡!
b ; a ; c );			( a ; c ; b );

¡! ¡! ¡!

( c ; a ; b );

¡! ¡! ¡!

( c ; b ; a ):

(22)

(23)

¡! ¡! ¡!

Усi трiйки (22) мають ту саму орiєнтацiю, що трiйка ( a ; b ; c ),

а всi трiйки (23) – орiєнтацiю, яка є протилежною до трiйки
( a ;	!¡	¡!	.
¡!	b ;	¡!
	b ;	c )
Декартова прямокутна система координат називається
			j ; k )
правою (лiвою), якщо три її базиснi вектори (!¡i ; ¡! ¡! утво-

рюють праву (лiву) трiйку. На рис. 3 зображено праву систему координат, а на рис. 4 – лiву систему координат.

¡!

-y

¡!

-x

¡!

j¼

Рис. 3

¼y

Рис. 4

Надалi ми розглядатимемо лише правi системи координат.

b ]

¡!

Векторним добутком вектора a на вектор ¡! називаєть-

¡!

!¡

¡! , який задовольняє умови:

ся вектор c

= [ a ;

117

¡!

1) довжина вектора c дорiвнює добутку довжин векторiв

¡! ¡!

a i b на синус кута ® мiж ними, тобто

c	=	a	b		sin ®;	(24)
c	=	a	¡!	j
j¡!j		j!¡ j j		j
c						a

¡! 2) вектор ¡! перпендикулярний до кожного з векторiв ¡! i b ;

!¡

3) напрямок вектора c такий, що трiйка векторiв

¡! !¡ ¡!

( a ; b ; c ) є правою (рис. 5).

¡!			6¡!
6c			c
	*¡!	e	¡!
	*¡!	e	6 µ
	b	¡!	b
	b
	I®		S
	I®		- a
	q a		- a
Рис. 5	q a		¡!
Рис. 5	¡!		Рис. 6

										b
	Поняття векторного добутку виникло в механiцi. Якщо ¡!
		b ]			b	!¡	O
							OM
– сила, що прикладена в точцi M, а вектор a = ¡¡!, то вектор
¡!	¡!	¡! є моментом сили			¡! вiдносно точки .
c	= [ a ;	¡! є моментом сили			¡! вiдносно точки .
	З умови 1) означення векторного добутку випливає, що для
		!¡	b						b ] =	0
колiнеарних векторiв a i ¡! їхнiй векторний добуток дорiвнює
								¡!	¡!	¡!
нулю, бо ® = 0, а отже, sin ® = 0. Навпаки, якщо [ a ;									¡!	¡!
i принаймнi один з векторiв				!¡		b
i принаймнi один з векторiв					a	i ¡! є нульовим, то цi вектори

колiнеарнi, оскiльки нульовий вектор має невизначений напрямок i тому його можна вважати колiнеарним до будь-якого век-

				a	b			a		> 0	i
тора. Якщо ж обидва вектори ¡! i					¡! ненульовi, тобто		j	¡!	j		i
b	> 0	, то з формули (24) випливає, що				sin ® = 0
j¡!j		, то з формули (24) випливає, що				, а це означає,
			b	колiнеарнi. Отже, необхiдною i достатньою
що вектори a i ¡!				колiнеарнi. Отже, необхiдною i достатньою
		¡!

умовою колiнеарности двох векторiв є рiвнiсть нулю їхнього векторного добутку.

З формули (24) випливає, що довжина (модуль) векторного

¡!	b ]	дорiвнює площi		S	паралелограма, побудованого
добутку [ a ; ¡!		дорiвнює площi			паралелограма, побудованого
	¡!	b					b ]
на векторах a		i ¡!, якi зведенi до спiльного початку. Тому,
¡!					¡!	¡!	¡! , то (рис. 6)
якщо e – орт векторного добутку c						= [ a ;	¡! , то (рис. 6)
		c	[ a ; ¡!			!¡
		¡! ´	¡!			!¡

b ] = S e :

Розглянемо основнi властивостi векторного добутку. 118

1). При перестановцi множникiв векторний добуток змiнює свiй знак, зберiгаючи модуль, тобто

[ a ; ¡!

¡!

!¡

b ] =

[ b ; a ]:

¡!

J З означення векторного добутку випливає, що вектори

b ]

¡!

b ]

[ b ; a ]

[ a ; ¡!

¡!

мають однаковi модулi, колiнеарнi, але напрям-

b ] =

[ b ; a ]

¡!

є проти-

ленi в протилежнi боки. Тому вектори [ a ;

лежними i, отже, [ a ;

¡!

!¡

2). Векторний добуток має сполучну властивiсть вiдносно

скалярного множника, тобто

¡!

[® a ; ¡!

¡!

2 R

¡!

b ] = ®[ a ; b ]; ®

3). Для векторного добутку правильна розподiльча вла-

стивiсть, тобто

¡!

[ a +

!¡

¡! !¡

¡!

!¡

b ; c ] = [ a ; c ] + [ b ; c ]:

Доведення властивостей 2) i 3) не будемо наводити, бо воно

складнiше.

4). [ a ; a ] = ¡!.

¡! !¡

Ця властивiсть випливає безпосередньо з формули (24).

З цих властивостей легко одержуються такi два наслiдки.

Наслiдок 1. Для довiльних векторiв

¡!

i ¡! та числа

® 2 R правильна рiвнiсть

¡!

[ a ; ®¡!

!¡

¡!

(25)

b ] = ®[ a ; b ]:

J З властивостей 1) i 2) випливає, що

[ a ; ®!¡

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

!¡

b ] =

[® b ; a ] =

®[ b ; a ] = ®[ a ; b ]:

Наслiдок 2. Для довiльних векторiв

a ,

правильна

¡! i

¡!

рiвнiсть

¡!

b + c ] = [ a ; b ] + [ a ; c ]:

(26)

[ a ; ¡!

¡!

¡! ¡!

¡!

J Згiдно з властивостями 1) – 3) маємо

b ]+[ a ; c ]:

b + c ] = [ b + c ; a ] =

[ b ; a ]

[ c ; a ] = [ a ;

[ a ; ¡!

¡! ¡

¡!

¡! ¡! ¡

¡!

!¡ ¡ ¡! !¡

¡!

!¡

!¡ ¡! I

¡!

119

¡! ¡! !¡

[ i ; j ] = k :

¡! !¡ !¡

[ j ; i ] = ¡ k :

¡! ¡! ¡! !¡ ¼

j[ i ; j ]j = j i j j j j sin 2 = 1:

¡!

¡! ¡

!¡

Приклад 4. Знайти [(2 a + 3¡!

J Маємо

b ); ( a

2 b )]

¡!

!¡

¡! !¡

[(2 a + 3¡!

¡! ¡

¡! !¡

!¡

¡!

[3 b ; 2 b ] =

b ); ( a

2 b )] = [2 a ; a ] + [3 b ; a ]

[2 a ; 2 b ]

3[ a ; ¡!

¡!

!¡

¡!

!¡

b ]

4[ a ; b ] =

7[ a ; b ];

оскiльки [ a ; a ] = 0, [¡! ¡!

¡!

!¡

¡! ¡!

b ; b ] = 0 [ a ; b ] = [ b ; a ]

Нехай задано два вектори

2!¡

2¡!

a = x1¡!i + y1¡!

1!¡ ¡!

¡!

j + z k ;

b = x i + y j + z k :

¡! ¡!

Знайдемо вираз векторного добутку [ a ; b ] через координа-

ти x1, y1, z1 i x2, y2, z2. Спочатку знайдемо всi парнi векторнi

¡! ¡! !¡

добутки одиничних векторiв i , j , k . Оскiльки векторний добуток колiнеарних векторiв дорiвнює нульовому вектору, то

[¡!i ;	¡!i ] = [¡! ¡!	¡! ¡!	!¡	:	(27)
	j ; j ] = [ k ; k ] = 0

¡! ¡!

Розглянемо тепер, наприклад, добуток [ i ; j ]. Знайдемо його модуль

¡! ¡!

Вектор [ i ; j ] розмiщений на прямiй, перпендикулярнiй до

¡! ¡!

площини векторiв i та j , тобто на осi Oz. Цей вектор напрям-

лений у бiк додатного напрямку осi Oz, оскiльки при цьому

	j
поворот вiд !¡i до ¡! вздовж найкоротшого шляху видно з кiн-
j ]		здiйснюваний проти годинникової стрiлки
ця вектора [¡!i ; ¡!

(рис. 3). Звiдси випливає, що цей вектор збiгається з вектором

¡!

k , тобто

(28)

Очевидно, що

(29)

За допомогою аналогiчних мiркувань переконуємося, що

!¡ ¡!	!¡	¡! !¡	¡!¡	[¡! !¡ ¡!
[ j ; k ] = i ;		[ k ; j ] =	i ;	k ; i ] = j ;

¡! ¡!

Розглянемо тепер добуток [ a ; b ].

120

[¡!i ;	¡!	¡¡!
	k ] =	j :
		(30)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.2016195.29 Кб463Vidpovidi_ne_derzh_ekzamen_z_zarubizhnoyi_literaturi.docx
#
04.08.2019293.89 Кб14vidpovidi_psihologiya_movlennya.doc
#
05.09.2019116.32 Кб18vidpovidi_verstka.docx
#
30.08.201972.19 Кб2Vidy_narkoticheskikh_veshestv.doc
#
09.08.2019171.01 Кб2Vijdij_trydovogo_dogovory.doc
#
28.02.20161.73 Mб28vm1.pdf
#
28.02.201673.73 Кб8Vstup_do_spetsializatsiyi_dlya_studentiv.doc
#
28.02.2016309.37 Кб15Vstup_do_spetsialnosti.docx
#
28.02.201678.4 Кб52Vstup_do_spetsialnosti.docx
#
28.02.201674.24 Кб19Vstup_do_spetsialnosti.docx
#
01.05.2019260.1 Кб3VYBYRKA_01_05_10 (12 кегль).doc