vm1

дiстанемо для y уявнi вирази: y = §p¡b2. Тому фокальна вiсь гiперболи називається дiйсною вiссю, а вiсь симетрiї, перпендикулярна до фокальної осi, – уявною вiссю гiперболи.

Рис. 2

Дiйсною вiссю називають також вiдрiзок довжиною 2a, який з’єднує вершини гiперболи. Вiдрiзок, довжиною 2b, який з’єднує точки B(0; b) i B1(0; ¡b) називається уявною вiссю гiперболи. Числа a i b називаються вiдповiдно дiйсною й уявною пiвосями гiперболи. Можна довести, що при досить великих за абсолютною величиною x точки графiка гiперболи як завгодно близькi до прямих

якi називаються асимптотами гiперболи.

Для побудови графiка гiперболи зручно спочатку побудувати прямокутник iз центром у початку координат i зi сторонами, паралельними координатним осям Ox i Oy, довжини яких дорiвнюють вiдповiдно 2a i 2b. Цей прямокутник називають основним. Кожна з його дiагоналей, необмежено продовжена в обидва боки, є асимптотою. Далi очевидно, як будувати графiк гiперболи.

Вiдношення половини вiдстанi мiж фокусами до дiйсної пiвосi гiперболи називається ексцентриситетом гiперболи й позначається лiтерою ":

Оскiльки для гiперболи c > a, то ексцентриситет гiперболи " > 1. Ексцентриситет характеризує форму гiперболи. Справ-

ексцентриситет гiперболи, тим менше вiдношення ab її пiвосей.

Вiдношення ab визначає форму основного прямокутника гiпер-

боли, а отже, i форму самої гiперболи. Чим менший ексцентриситет гiперболи, тим витягнутiший у напрямку фокальної осi її основний прямокутник.

також визначає гiперболу. Вона зображена на рис. 3 пунктирними лiнiями; її вершини лежать на осi Oy. Ця гiпербола називається спряженою до гiперболи (64). Обидвi гiперболи мають однi й тi самi асимптоти.

Гiпербола називається рiвнобiчною, якщо її дiйсна пiввiсь дорiвнює уявнiй пiвосi, тобто a = b. Канонiчне рiвняння рiвно-

або

x2 ¡ y2 = a2:

182

Асимптотами рiвнобiчної гiперболи є прямi

y = x i y = ¡x;

тобто бiсектриси першого й третього координатних кутiв. Ексцентриситет рiвнобiчної гiперболи

x2 ¡ y2 = 1: I

144 25

Приклад 7. Гiпербола, осi якої збiгаються з осями координат,

p

проходить через точки M1(¡3; 22 ) i M2(4; ¡2). Знайти її канонiчне рiвняння.

J Шукане канонiчне рiвняння гiперболи має вигляд

де a i b невiдомi. Оскiльки гiпербола проходить через точки M1 i M2, то їхнi координати задовольняють рiвняння гiперболи, тобто

183

Звiдси знаходимо a2 = 8, b2 = 4, а тому рiвняння гiперболи

x2 ¡ y2 = 1: I

8 4

Директрисами гiперболи називаються двi прямi, перпендикулярнi до фокальної осi гiперболи i симетрично розмi-

щенi вiдносно її центра на вiдстанi a.

" a

Оскiльки для гiперболи " > 1, то " < a. Звiдси випливає,

що директриси гiперболи розмiщенi всерединi смуги, де немає жодної точки гiперболи.

Як i у випадку елiпса вiдношення довжини фокального радiуса кожної точки гiперболи до вiдстанi цiєї точки вiд вiдповiдної директриси є сталою величиною, яка дорiвнює ексцен-

триситету гiперболи, тобто r1 = " i r2 = " [6]. d1 d2

Приклад 8. Ексцентриситет гiперболи " = 3, вiдстань вiд точки M гiперболи до директриси дорiвнює 4. Знайти вiдстань вiд точки

Mдо фокуса, однобiчного з цiєю директрисою. J Оскiльки dr = ", то 4r = 3 або r = 12. I

Фокальнi радiуси точки M(x; y) гiперболи обчислюються за формулами:

1)якщо точка M лежить на правiй вiтцi гiперболи, то

r1 = "x + a; r2 = "x ¡ a;

184

2) якщо ж точка M лежить на лiвiй вiтцi гiперболи, то

r1 = ¡"x ¡ a; r2 = ¡"x + a:

4.5. Парабола. Параболою називається множина точок площини, для кожної з яких вiдстань до деякої фiксованої точки F , яка називається фокусом, дорiвнює вiдстанi до деякої фiксованої прямої L, яка називається директрисою.

Для виведення рiвняння параболи введемо на площинi прямокутну систему координат так, щоб вiсь абсцис проходила через фокус параболи перпендикулярно до директриси i була напрямлена вiд директриси до фокуса. За початок координат вiзьмемо середину вiдрiзка мiж фокусом i директрисою.

Нехай M(x; y) – довiльна точка параболи. Позначимо через r вiдстань вiд точки M до фокуса F , тобто r = F M, через d – вiдстань вiд точки M до директриси, а через p – вiдстань вiд фокуса до директриси.

Величину p називають параметром параболи. Точка M лежатиме на параболi тодi й тiльки тодi, коли

або

Рiвняння (68) називається канонiчним рiвнянням параболи. Його задовольняють координати довiльної точки параболи. Можна довести, що координати точок, що не лежать на параболi, не задовольняють рiвняння (68).

Дослiдимо форму параболи за її рiвнянням (68). Оскiльки це рiвняння мiстить y тiльки в парному степенi, то парабола симетрична вiдносно осi Ox. Отже, досить розглянути тiльки ту її частину, що лежить у верхнiй пiвплощинi. Для цiєї частини y > 0, тому, розв’язавши рiвняння (68) вiдносно y, одержимо

p

y = 2px: (69)

З рiвностi (69) випливає: 1) якщо x < 0, то лiвiше вiд осi Oy немає жодної точки параболи; 2) якщо x = 0, то y = 0, а це означає, що початок координат належить параболi; 3) при необмеженому зростаннi x величина y також необмежено зростає.

Отже, змiнна точка M(x; y), перемiщуючись параболою зi зростанням x, виходить iз початку координат i рухається вправо i вверх, причому при x ! +1

точка нескiнченно вiддаляється як вiд осi Oy, так i вiд осi Ox. Вiдобразивши симетрично розглянуту частину параболи вiдносно осi Ox, дiстанемо всю параболу, що задана рiвнянням (68).

Вiсь симетрiї параболи називається фокальною вiссю. Точка O перетину параболи з вiссю симетрiї називається її вершиною.

186

Парабола, рiвняння якої y2 = ¡2px, p > 0, розмiщена злiва вiд осi ординат (рис. 4,a). Вершина цiєї параболи збiгається з початком координат, а вiссю симетрiї є вiсь Ox.

Рiвняння x2 = 2py, p > 0 є рiвнянням параболи, вершина якої збiгається з початком координат,а вiссю симетрiї є вiсь Oy (рис. 4, б). Ця парабола лежить вище осi абсцис. Рiвняння x2 = ¡2py, p > 0 визначає параболу, що лежить нижче вiд осi

Рис. 4

Приклад 9. Для параболи y2 = 6x знайти рiвняння директриси i координати фокуса.

J Порiвнюючи рiвняння y2 = 6x iз канонiчним рiвнянням параболи (69), одержимо, що 2p = 6, або p = 3. Оскiльки директриса параболи має рiвняння x = ¡p2, а фокус – координати (p2; 0), то от-

римаємо, що рiвняння директриси нашої параболи x = ¡32, а фокус

F (32; 0). I

Зауваження. Парабола має лише один фокус, а довжина її осi необмежена. Отже, означення ексцентриситету, яке аналогiчне тому, що ми мали у випадку гiперболи та елiпса, не має змiсту. Тому у випадку параболи домовляються, що " = 1. Ця домовленiсть грунтується на тому, що для елiпса i гiперболи dr = ", а для параболи dr = 1.

4.6. Зведення загального рiвняння лiнiї другого порядку до найпростiшого вигляду. Вигляд рiвняння кривої залежить вiд вибору системи координат. У рiзних системах координат для однiєї й тiєї самої кривої можна дiстати рiвняння рiзної складностi. Тому виникає задача спрощення

187

рiвняння даної кривої за допомогою перетворення систем координат. Таке спрощення дозволяє одержати простiше рiвняння i за його виглядом визначити тип кривої, тобто вияснити чи є крива елiпсом, гiперболою i т.п.

Розглянемо загальне рiвняння лiнiї другого порядку

де коефiцiєнти A, B, C, D, E i F – довiльнi числа, i, крiм того, A, B i C не дорiвнюють нулю одночасно, тобто A2+B2+C2 6= 0.

Теорема. Якщо AC ¡ B2 6= 0, то за допомогою паралельного перенесення i наступного повороту осей координат рiвняння (70) зводиться до вигляду

де A, C, F – деякi числа; (x; y) – координати точки в новiй системi координат.

J Зробимо паралельне перенесення системи координат за формулами

Пiдставивши (72) у (70), одержимо в нових координатах рiвняння

Ax02 + 2Bx0y0 + Cy02 + 2D0x0 + 2E0y0 + F 0 = 0; (73)

де

D0 = Ax0 + By0 + D; E0 = Bx0 + Cy0 + E;

F 0 = Ax20 + 2Bx0y0 + Cy02 + 2Dx0 + 2Ey0 + F:

У рiвняннi (73) коефiцiєнти D0 i E0 перетворюються в нуль, якщо пiдiбрати координати точки (x0; y0) так, щоб виконувались

Оскiльки AC ¡ B2 =6 0, то система (74) має єдиний розв’язок вiдносно x0, y0.

188

Якщо (x0; y0) – розв’язок системи (74), то рiвняння (73) запишеться у виглядi

Нехай тепер прямокутна система координат O0x y одержана за допомогою повороту на кут ® системи O0x0y0. Тодi координати x0, y0 зв’язанi з координатами x, y формулами

Пiдставивши (76) у (75), одержимо рiвняння

де

A = A cos2 ® + 2B cos ® sin ® + C sin2 ®;

B = ¡A sin ® cos ® + B(cos2 ® ¡ sin2 ®) + C sin ® cos ®; C = A sin2 ® ¡ 2B cos ® sin ® + C cos2 ®; F = F 0:

Виберемо ® так, щоб коефiцiєнт B у рiвняннi (77) перетворився в нуль. Ця вимога приводить до знаходження ® з рiвняння

2B cos 2® = (A ¡ C) sin 2®:

Якщо A = C, то cos 2® = 0, i можна взяти ® = ¼4 . Якщо ж A =6 C, то беремо ® = 12 arctg A2¡BC , i рiвняння (77) набуває

вигляду

Ax2 + Cy2 + F = 0;

що й доводить теорему. I

Класифiкацiя лiнiй другого порядку. Коефiцiєнти A,

B i C при старших членах рiвняння (70) при паралельному перенесеннi осей координат, як випливає з доведення теореми, не змiнюються, але вони змiнюються при поворотi осей координат. У той же час вираз AC ¡ B2 залишається незмiнним як при перенесеннi, так i при поворотi осей, тобто не залежить вiд

189

перетворення координат. Цей факт є очевидним при паралельному перенесеннi осей координат. Доведемо його для випадку повороту осей. Маємо

AC ¡ B2 = (A cos2 ® + 2B sin ® cos ® + C sin2 ®)£

£(A sin2 ® ¡ 2B sin ® cos ® + C cos2 ®) ¡ ((C ¡ A) sin ® cos ®+ +B(cos2 ® ¡ sin2 ®))2

або

AC ¡ B2 = AC(cos2 ® + sin2 ®) ¡ B2(sin2 ® + cos2 ®) = AC ¡ B2;

що й треба було довести.

Величина AC ¡ B2 називається iнварiантом загального рiвняння лiнiї другого порядку.

У залежностi вiд знаку величини AC ¡ B2 лiнiї другого порядку дiляться на такi три типи: 1) елiптичний, якщо AC ¡

B2 > 0; 2) гiперболiчний, якщо AC ¡ B2 < 0; 3) параболiчний, якщо AC ¡ B2 = 0.

Розглянемо лiнiї рiзних типiв.

1) Елiптичний тип. Оскiльки AC ¡B2 > 0, то згiдно з теоремою загальне рiвняння лiнiї другого порядку можна звести до вигляду

Можливi такi випадки: а) A > 0, C > 0 (випадок A < 0, C < 0 зводиться до випадку A > 0, C > 0 множенням рiвняння на (¡1)) i F < 0. Перенесемо F у праву частину рiвняння (78) i подiлимо на нього. Тодi рiвняння набуде вигляду

де a2 = ¡FA, b2 = ¡CF . Порiвнявши одержане рiвняння з рiв-

нянням елiпса (59), робимо висновок, що воно є канонiчним рiвнянням елiпса.

190