vm1

= p22 + (¡1)2 + (¡2)2 = p4 + 1 + 4 = p9 = 3: I

2.5. Полярнi координати на площинi. Сферичнi координати в просторi.

2.5.1. Полярнi координати на площинi. Вiзьмемо в площинi деяку точку O, яку назвемо полюсом. Проведемо з точки O фiксований промiнь OP (тобто напрямлену пiвпряму OP ), який називається полярною вiссю.

Полярнi радiус r i полярний кут ' повнiстю визначають положення точки M на площинi i називаються полярними координатами M. Позначаємо це так: M(r; '). При цьому полярний кут ' вважається додатним, якщо вiдраховувати його вiд полярної осi проти ходу годинникової стрiлки, i вiд’ємним

– за ходом годинникової стрiлки. Тому, щоб описати всi точки площини досить змiнювати ' в таких межах: 0 · ' < 2¼, а r ¸ 0. Зауважимо, що полюсу O вiдповiдає r = 0, а полярний кут для нього не визначається. Це єдина точка площини, у якої полярний кут не визначається.

Зв’язок мiж прямокутними та полярними координатами. Припустимо, що полюс полярної системи збiгається з початком декартової прямокутної системи координат Oxy, а полярна вiсь – з додатною пiввiсю Ox.

Вважаючи кут ' гострим, iз прямокутного трикутника

Легко переконатися, що формули (7) правильнi для будьякого кута ', i вони виражають декартовi координати через полярнi.

Так виражаються полярнi координати через прямокутнi. Зауважимо, що при визначеннi кута ' за значенням tg ', потрiбно враховувати знаки координат x та y.

Якщо в полярнiй системi координат фiксувати ', а довiльним чином змiнювати лише r ¸ 0, то одержимо напiвпрямi, що виходять з полю-

O - са (променi). Навпаки, при фiксованому r та змiнi ' вiд 0 до значення 2¼ отримаємо коло з центром в точцi O радiуса r.

Отже, полярна система координат характеризується полярною сiткою, яка складається з променiв, що виходять з точки O, i кiл, з центром в цiй точцi.

Полярну сiтку використовують, наприклад, у фiзичнiй географiї для побудови "рози" вiтрiв або дiаграм орiєнтацiї улам-

кiв породи.

Приклад 5. Дано прямокутнi координати точки M: x = 1,

Mлежить вpпершому квадрантi. Отже, полярнi координати точки

Mтакi: r = 2, ' = ¼4 . I

22

Приклад 6. Полярнi координати точки r = 2, ' = ¼2 . Знайти її прямокутнi координати.

J За формулами (7) маємо x = 2 cos ¼2 = 0, y = 2 sin ¼2 = 2. I

2.5.2. Цилiндричнi координати в просторi. Виберемо на фiксованiй площинi P деяку точку O i взаємно перпендикулярнi променi Ox i Oy, що виходять з неї. Прямi, що мiстять цi променi, вiзьмемо за осi координат в цiй площинi. Крiм того, розглянемо вiсь Oz, яка проходить через точку O перпендикулярно до площини P . Нехай M – довiльна точка простору, M¤

– проекцiя цiєї точки на площину P , а Mz – проекцiя M на вiсь

Oz. Цилiндричними координатами точки M називаються три числа r, ' i z, першi два з яких r i ' є полярними координатами точки M¤ в площинi P вiдносно полюса O i полярної осi Ox, а число z є координатою точки Mz на осi Oz. Точку M з цилiндричними координатами r, ' i z позначають M(r; '; z). Назва цилiндричнi координати пов’язана з тим, що координатна поверхня r = const, тобто поверхня, всi точки якої мають одну й ту саму координату r, є цилiндром з твiрними

¼

x

Якщо вибрати осi декартової прямокутної системи координат Oxyz так, як показано на рисунку, то декартовi координати x, y, z точки M будуть зв’язанi з її цилiндричними координа-

Оскiльки першi двi цилiндричнi координати r i ' є полярними координатами проекцiї M¤ точки M на площину P , то їх стосуються всi зауваження i висновки, якi зроблено в попередньому пунктi.

2.5.3. Сферичнi координати в просторi. Розглянемо прямокутну систему координат Oxyz в просторi. Тодi, як вiдо-

мо, довiльна точка M простору має координати (x; y; z). z

Mz 6

+x

Положення точки M в просторi можна задавати трiйкою чисел r, ', µ, де r – довжина вiдрiзка OM, µ – кут, який утворює промiнь OM з вiссю Oz, а ' – кут мiж променем OM1 i додатним напрямком осi Ox. Щоб описати всi точки простору досить брати r ¸ 0, 0 · ' < 2¼ i 0 · µ · ¼. Точка O – початок координат, характеризується тим, що для неї r = 0, а координати ' i µ не мають певного значення; всi точки на осi Oz описуються значеннями µ = 0 або µ = ¼ i r ¸ 0, а кут ' для них не визначається.

Введена впорядкована трiйка чисел r, ', µ називається сферичними координатами точки M в просторi.

Назва сферичнi координати пов’язана з тим, що координатна поверхня r = const, тобто поверхня, всi точки якої мають одну й ту саму координату r, є сферою.

Встановимо зв’язок мiж прямокутними i сферичними ко-

ординатами. Нехай точка M знаходиться у першому октантi.

Якщо M(x; y; z), то вiдрiзок OM10 = x, OM100 = y, M1M = z. Тодi з трикутника 4OMM1 маємо: MM1 = OM sin(¼2 ¡ µ), тобто

24

якi встановлюють зв’язок мiж прямокутними i сферичними координатами точки M з першого октанту. Легко можна пересвiдчитися, що вони є правильними для точок всiх iнших октантiв.

Для формул (9) оберненими є, очевидно (дивись той самий рисунок), формули

>

: cos µ = r :

Сферичнi координати часто застосовують в географiї, особливо при складаннi карт земної поверхнi. При цьому Земля вважається наближено кулею з центром в початку координат, радiус якої r ¼ 6371 км. Тодi розташування будь-якої точки на земнiй поверхнi характеризується кутом ', що називається

Куту ' = 0 вiдповiдає меридiан, що проходить через полюcи Землi i мiсто Гринвiч . Якщо ж зафiксувати кут µ, а кут

25

' змiнювати в межах вiд 0 до 2¼, то одержимо паралель (зокрема, при µ = ¼=2 – екватор).

Знаючи довготу i широту населених пунктiв земної поверхнi, можна знайти вiдстанi мiж ними. Нехай A1 i A2 – двi точки на поверхнi Землi, яким вiдповiдають довгота i широта вiдповiдно '1, µ1 та '2, µ2. За вiдстань мiж цими точками беруть довжину найкоротшої дуги великого кола земної кулi, що про-

визначаються за формулами (9). Тому

r2 cos ® = r2 cos '1 cos '2 sin µ1 sin µ2+r2 sin '1 sin '2 sin µ1 sin µ2+ +r2 cos µ1 cos µ2:

Звiдси випливає, що

cos ® = cos µ1 cos µ2 + sin µ1 sin µ2 cos('1 ¡ '2)

або

® = arccos(cos µ1 cos µ2 + sin µ1 sin µ2 cos('1 ¡ '2)):

26

Тодi

l = 180¼r0 arccos(cos µ1 cos µ2 + sin µ1 sin µ2 cos('1 ¡ '2)):

Наприклад, для Києва µ1 = 39; 70, '1 = 30; 50, а для Берлiна

µ2 = 37; 50, '2 = 130. Тому

l = ¼ ¢ 6377 arccos(cos 39; 70 cos 37; 50+ 1800

+ sin 39; 70 sin 37; 50 cos 16; 50) ¼ 1169:

Отже, вiдстань мiж Києвом i Берлiном дорiвнює 1169 км.

Вправи

1. Побудувати точку за її полярними координатами:

а) A(5; 0); б) B(2; ¼4 ); в) C(3; ¼2 ); г) D(1; ¼); д) E(2; 56¼ ).

2. Якi прямокутнi координати має точка, що задана за допомо-

гою полярних координат:

а) A(5; 0); б) B(6; ¼4 ); в) C(2; ¼2 ); г) D(4; 54¼ )?

3.За вiдомими декартовими координатами точки M знайти її

полярнi координати:

а) A(2; 2); б) B(p3; 1) , в) C(¡3; 0), г) D(1; ¡p3).

4.Написати в полярних координатах рiвняння лiнiї, заданої в прямокутних координатах:

а) x = 1; б) y = ¡2; в) y = x; г) y = 2x; д) x2 + y2 = 25.

5.Рiвняння кривої в полярних координатах має вигляд r =

a cos '. Написати рiвняння цiєї кривої в прямокутних координатах i з’ясувати, якою є ця крива.

6. Знайти сферичнi координати точок A(8; 4; 1), B(¡2; ¡2; ¡1),

C(0; ¡4; 3), D(1; ¡1; ¡1); E(0; 1; 0).

7.Знайти сферичнi координати точки M, якщо промiнь OM

утворює з осями Ox i Oy кути, вiдповiдно рiвнi ¼4 i ¼3 , а третя координата точки z = ¡1.

8.Знайти декартовi координати точки, що лежить на кулi радiуса 1, знаючи її широту µ = 450 i довготу ' = 3300.

9.Знайти цилiндричнi координати точок за їх декартовими координатами A(3; 4; 5), B(1; ¡1; ¡1), C(¡6; 0; 8).

10.Знайти цилiндричнi координати точки M, знаючи, що промiнь OM утворює з осями координат кути 600, 600 i 1350, а довжина вiдрiзка OM дорiвнює 1.

27

28

Роздiл 2 Основи лiнiйної алгебри

У цьому роздiлi розглянемо деякi поняття лiнiйної алгебри, зокрема, визначники та їхнi властивостi, розв’язування систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, матрицi та дiї над матрицями. Крiм того, наведемо приклади застосування цих понять у рiзних галузях знань.

§1. Елементи теорiї визначникiв

1.1. Визначники другого й третього порядкiв.

Нехай задано таблицю (матрицю), яка складається з чотирьох дiйсних чисел:

Матриця має два рядки i два стовпчики. Її називають матрицею другого порядку, а числа a11, a12, a21, a22 – її елементами. Елементи прийнято позначати лiтерою з двома iндексами. Перший iндекс вказує номер рядка, а другий – номер стовпчика, на перетинi яких знаходиться даний елемент.

Визначником (детермiнантом) другого порядку, що вiдповiдає матрицi (1),¯ називають¯ число a11a22 ¡ a21a12, яке

позначають символом ¯¯¯ a11 a12 ¯¯¯: Отже,

a21 a22

Числа a11, a12, a21, a22 називаються елементами визначника.

Множини елементiв з однаковим першим iндексом називають рядками, а з однаковим другим iндексом – стовпчиками визначника, тобто елементи, розмiщенi на горизонталях, утворюють рядки, а на вертикалях – стовпчики визначника. Дiагональ, яка утворена елементами a11, a22 називається головною, а дiагональ, яка утворена елементами a12; a21 – побiчною.

29